Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

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Autovalores y autovectores
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Probablemente ya sabrás que un sistema de ecuaciones lineales tiene la siguiente forma:

Ax B

Los autovalores y autovectores provienen de realizarse la siguiente pregunta: suponiendo que tenemos una matriz cuadrada A de n x n, ¿existe algún vector x distinto de 0 para el cual Ax es un escalar múltiplo de x? Si escribimos esta pregunta en lenguaje matemático, nos encontramos con la definición de los autovalores y autovectores:

Ax= λx

Cuando esta ecuación es válida y x no es 0, decimos que A es el Eigenvalue o autovalor de A, mientras x es su correspondiente Eigenvector o autovector.

Autovalores y autovectores: ejemplo

Veamos un ejemplo muy simple de autovalores y autovectores:

Autovalores y autovectores

En este caso:

  • λ = 5
  • x = (1 / 1)

Vamos a intentar explicar con un ejemplo gráfico qué le sucede a los vectores cuando los multiplicamos por una matriz A. Consideremos que tenemos la siguiente matriz:

Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Si la multiplicamos por un vector:

Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Para poder ver el efecto que hace dicha operación, vamos a considerar un cuadrado y vamos a resolver dicha ecuación para cada vértice del cuadrado por medio del patch Rectangle, es decir:

#Autovalores y autovectores
import matplotlib.pyplot as plt

plt.axes()
rectanble = plt.Rectangle ((0, 0), 1, 1)
plt.gca().add_patch (rectangle)
plt.xlim (-0.25,  1.25)
plt.ylim (-0.25,  1.25)
plt.grid()
plt.show()
Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Los vértices del cuadrado son:

Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Si evaluamos la ecuación anterior en dichos puntos, obtenemos:

#Autovalores y autovectores
import numpy as np

A = np.array([[3,  2],
                         [1,  4]])

v1 = np.array([0,  0])
v2 = np.array([0,  1])
v3 = np.array([1,  1])
v4 = np.array([1,  0])
#Autovalores y autovectores
A_v1 =  np.dot(A, v1)
A_v2 =  np.dot(A, v2)
A_v3 =  np.dot(A, v3)
A_v4 =  np.dot(A, v4)

print (A_v1)
print (A_v2)
print (A_v3)
print (A_v4)

[0 0]

[2 4]

[5 5]

[3 1]

En resumen, hemos hecho estas operaciones:

Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Podemos graficar esto:

#Autovalores y autovectores
from matplotlib.patches import Pölygon

pts = np.array([A_v1, A_v2, A_v3, A_v4])
p = Polygon (pts, closed = False)
ax = plt.gc ()
ax.add_patch(p)
ax.set_xlim(-0.25,  5.25)
ax.set_ylim(-0.25,  5.25)
ax.grid()
plt.show()
Autovalores y autovectores (Eigenvalores || Eigenvectores)

Uno de los componentes de los vectores (cuando pensamos en ellos geométricamente) es la dirección. ¿Se mantiene aquí la dirección de los vectores? Vamos a verlo:

  • El punto v2 ha pasado de (0, 1) a (2, 4).
  • El punto v4 ha pasado de (1.0) a (3.1).
  • El punto v3 ha pasado de (1.1) a (5.5).

Vemos como el punto v3 es el único que ha mantenido su dirección; de hecho, se ha dilatado por 5. Este vector que ha mantenido su dirección se denomina autovector, y el factor de dilatación es el autovalor correspondiente.

Más arriba hemos visto la fórmula de los autovalores y los autovectores: Ax = λx. Podemos desarrollarla un poco:

Ax = λx

Moviendo un miembro al otro lado:

Ax – λx = 0

Multiplicando por I:

(A – λI) x = 0

El término (A – λI) se denomina matriz de coeficientes. Queremos obtener los resultados para cuando esta ecuación sea distinta a cero:

(A – λI) x = 0

Un escalar λ es un valor propio de la matriz A de (nxn), solo si λ satisface la ecuación característica:

det (A – λI) = 0

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