Cambio de base en espacios vectoriales

Autor: | Última modificación: 24 de enero de 2023 | Tiempo de Lectura: 3 minutos
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¿Sabes qué es y cómo se hace un cambio de base en espacios vectoriales? Un espacio vectorial no es más que un conjunto donde residen ciertos vectores que tienen las mismas propiedades en común.

A raíz de eso, hemos definido ciertas propiedades de ese espacio vectorial. Partimos de la base de una ecuación que determina si dos vectores son linealmente dependientes o linealmente independientes. Veamos un poco cómo funciona la dependencia e independencia lineal de vectores:

  • Vectores linealmente dependientes: un conjunto de vectores será linealmente dependiente si alguno de ellos se puede expresar como una combinación lineal del resto.
  • Vectores linealmente independientes: un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores.

Cambio de base en espacios vectoriales

La base no es más que un conjunto de vectores v1, v2, … vn que son linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio (estamos hablando del mismo espacio vectorial).

La idea es que queremos construir una matriz que nos permita cambiar las coordenadas de un vector en una base por las coordenadas del mismo vector en otra base. Para ello, tomemos un par de bases del mismo espacio vectorial:

A = a1, a2, … an

B = b1, b2, … bn

Para ello, calculamos la matriz B a partir de los vectores b1, …, bk y la matriz A a partir de los vectores a1, …, an.

Recuerda que habíamos definido esta transformación: AX = B. Pues bien, la fórmula del cambio de base en espacios vectoriales funciona igual, pero lo único que queremos es cambiar de una base a otra.

Aquí, en la fórmula anterior, lo que queremos calcular es X. No obstante, X toma otro nombre, ahora se llama cambio de base.

Ya hemos visto que para despejar X tenemos que multiplicar en ambos lados por la matriz inversa y, entonces, obtendremos el resultado esperado.

La matriz de cambio de base C viene definida como:

C = A-1 . B

Esta matriz mapea un vector en la base b1, …, bk y lo convierte en un vector en la base a1, …, an.

Ejercicio sobre cambio de base en espacios vectoriales

Veamos un ejercicio simple para ver cómo funciona el cambio de base en espacios vectoriales.

Vamos a calcular la matriz de cambio de base en espacios vectoriales de la base

B = [1, 2, 3], [2, 1, 0], [0, 1, 4] a la base A = [2, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 2, 0].

Lo primero que haremos será definir la matriz B por medio de np.array; luego, definiremos la matriz A. Para hacer el cambio de base en espacios vectoriales, tenemos que calcular la inversa de A x B:

#Cambio de base en espacios vectoriales
import numpy as np

B = np.array ([[1,  2,  3],
                         [2,  1,  1],
                         [3,  0,  4]])

A = np.array ([[2,  0,  1],
                         [0,  1,  -1],
                         [1,  2,  0]])

inv_A = np.linalg.inv (A)
print (inv_A)

[[ 0.66666667 0.66666667 -0.33333333]

[-0.33333333 -0.33333333 0.66666667]

[-0.33333333 -1.33333333 0.66666667]]

Ahora la matriz C va a ser el producto matricial de la inversa x B:

#Cambio de base en espacios vectoriales
C = np.dot (inv_A, B)
print (C)

[[ 1, 2. -1.33333333]

[ 1, -1. 1.33333333]]

[ -1, -2. 0.33333333]

Para convertir el vector [1, 2, 3] a la base [2, 0, 1], [0, 1, -1], [1, 2, 0]:

#Cambio de base en espacios vectoriales
v = np.array ([[1],
                       [2],
                       [3]])

np.dot (C, v)

En la vida real, el cambio de base se utiliza para muchas cosas, entre ellas, para eliminar la perspectiva de una imagen.

Cambio de base en espacios vectoriales
Cambio de base en espacios vectoriales: perspectiva

array (

[[9.],

[3.],

[-4.]])

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