Combinaciones lineales entre vectores

Autor: | Última modificación: 12 de abril de 2024 | Tiempo de Lectura: 2 minutos
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¿Sabes qué son las combinaciones lineales entre vectores y cuál es su función en los conjuntos de vectores? En este post, te instruiremos acerca de uno de los temas básicos del álgebra.

¿Qué son las combinaciones lineales entre vectores?

Dados los vectores v1, v2, …, vj en V y los escalares c1, c2, …, cj en K, se denomina combinación lineal al vector y definido por:

y = c1 v1 + … + cj

Las combinaciones lineales entre vectores no son más que una expresión matemática construida sobre un conjunto de vectores, en el que cada vector es multiplicado por un escalar y los resultados, después, se suman. Matemáticamente, lo podemos expresar de la siguiente forma:

Combinaciones lineales entre vectores

En una combinación lineal, los coeficientes pueden ser cualquier número real, incluso el cero.

Ejercicio sobre combinaciones lineales entre vectores

Dados los vectores v1 = (1, 2) y v2 = (1, -1), hallar el vector combinación lineal z = 2v1 + 3v2.

Lo primero que haremos será graficar los dos vectores que tenemos, tanto v1 como v2.

Combinaciones lineales entre vectores
Primer paso: combinaciones lineales entre vectores

Lo que nos dice el ejercicio sobre combinaciones lineales entre vectores es que hallemos un vector que sea 2v1 + 3v2. Primero desglosaremos:

v1 = [1, 2] * 2 → [2, 4] = 2v1

v2 = [1, -1] * 3 → [3, -3] = 3v2

Ahora vamos a volver a graficar los nuevos vectores:

Combinaciones lineales entre vectores
Segundo paso: combinaciones lineales entre vectores

Este era el primer paso del ejercicio sobre combinaciones lineales entre vectores. Ahora bien, el segundo paso está dado por la suma de los vectores:

Combinaciones lineales entre vectores

Ahora, dibujaremos el vector entero de 2v1 + 3v2:

Combinaciones lineales entre vectores
Tercer paso: combinaciones lineales entre vectores

Veamos cómo sería la combinación lineal entre v1 y v2. Lo que haremos es mover el vector 3v2, desplazarlo hasta el final del vector 2v1. Para sumar gráficamente o de forma geométrica los vectores, desplazaríamos el vector de la siguiente forma:

Combinaciones lineales entre vectores
Cuarto y último paso: paso: combinaciones lineales entre vectores

Así pues, tenemos que z es combinación lineal de v1 y v2.

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