¿Qué es la distribución binomial y para qué sirve en estadística?

La distribución binomial nos permite calcular probabilidades en experimentos con resultados binarios. Resulta sorprendente que es aplicable en muchas áreas, como la producción industrial o la genética y ayuda a modelar situaciones en las que un experimento se repite varias veces con dos posibles resultados: éxito o fracaso.

Para que conozcas bien qué es la distribución binomial y entiendas sus usos en estadística, he creado esta guía donde te explicaré de forma sencilla y sin llenarte de conceptos complejos.

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli.

Por si no lo sabías, un ensayo de Bernoulli es un experimento con solo dos posibles resultados: éxito (evento favorable) o fracaso (evento no favorable), con una probabilidad fija de éxito p.

Se denota como:

$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$

No te preocupes, ya voy a explicarte:

• X es la variable aleatoria que representa el número de éxitos.
• n es el número total de ensayos.
• p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.

No puedes olvidar que cada resultado es independiente del anterior, es decir, el éxito o fracaso en un intento no afecta los siguientes.

Fórmula de la distribución binomial

No te asustes con la fórmula. Realmente es fácil de entender, solo acuérdate de que la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos sigue la siguiente función de probabilidad:

$P(X=k)=\frac{n!}{k!(n–k)!}{p}^k{(1–p)}^{n–k}$

¿Qué sucede ahí?

• (n sobre k) es el coeficiente binomial, calculado como:

$\frac{n!}{k!(n–k)!}$

• pk representa la probabilidad de obtener exactamente k éxitos.
• (1−p)n−k representa la probabilidad de obtener n−k fracasos.

Propiedades importantes de la distribución binomial

Ahora te voy a presentar las características que hacen tan útil esta distribución:

• Media (valor esperado):

$E\left(X\right)=np$

• Varianza:

$\mathrm{Var}\left(X\right)=np(1–p)$

• Aproximación a otras distribuciones:

Si p es pequeño y n es grande, se puede aproximar con la distribución de Poisson.

Si n es grande y p está alrededor de 0.5, se puede aproximar con la distribución normal.

¿Para qué sirve en estadística?

Como te dije al inicio, la distribución binomial tiene una amplia gama de aplicaciones en estadística y otras disciplinas. Quiero mostrarte algunos ejemplos:

• Estudios de encuestas: Si en una encuesta el 40% de las personas dicen que les gusta cierto producto, la distribución binomial puede predecir cuántas de las próximas 100 encuestas darán una respuesta afirmativa.
• Calidad y control de procesos: En una fábrica, si cada producto tiene una probabilidad de 2% de ser defectuoso, la distribución binomial puede estimar cuántos productos defectuosos aparecerán en un lote de 500 unidades.
• Genética: Para calcular la probabilidad de que un niño herede un rasgo específico, dado un número de genes dominantes y recesivos.
• Seguros y finanzas: Para modelar eventos como el número de clientes que presentarán reclamaciones en una aseguradora en un período de tiempo.

Entendiendo la distribución binomial con ejemplos prácticos y guiados

Veamos un par de ejemplos prácticos para que aprendas a usar la fórmula de la distribución binomial.

Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda

Digamos que lanzas una moneda 5 veces y quieres saber la probabilidad de obtener exactamente 3 caras.

Aquí:

• n=5 (número de ensayos)
• k=3 (número de éxitos)
• p=0.5 (probabilidad de obtener cara)
• 1−p=0.5 (probabilidad de obtener cruz)

Tienes que aplicar la fórmula:

$P(X=3)=\frac{5!}{3!(5–3)!}{0.5}^3{\left(0.5\right)}^{5–3}$

Ahora calcula el coeficiente binomial:

$\frac{5!}{3!(5–3)!}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{54}{21}=10$

Solo te queda resolver la probabilidad:

$P(X=3)=10{\left(0.5\right)}^3\times {\left(0.5\right)}^2=100.125\times 0.25=0.3125$

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos es 31.25%.

Ejemplo 2: Producción de bombillas defectuosas

Una fábrica produce bombillas y el 5% de ellas resultan defectuosas. Si se inspeccionan 20 bombillas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosas?

Entonces haces lo mismo:

• n=20 (bombillas inspeccionadas)
• k=2k (bombillas defectuosas)
• p=0.05 (probabilidad de defecto)
• 1−p=0.95 (probabilidad de no defecto)

Aplica la fórmula:

$P(X=2)=\frac{20!}{2!(20–2)!}{0.05}^2{\left(0.95\right)}^{18}$

Calcula el coeficiente binomial:

$\frac{20!}{2!(20–2)!}=\frac{2019}{2}=190$

Resuelve la probabilidad:

$P(X=2)=190\times 0.0025\times 0.377=0.180$

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 2 bombillas sean defectuosas es 18%.

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