Estructura de un espacio vectorial

Autor: | Última modificación: 16 de enero de 2023 | Tiempo de Lectura: 3 minutos
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¿Sabes qué es y cuál es la estructura de un espacio vectorial? Los espacios vectoriales son, probablemente, las estructuras matemáticas más comunes que podemos encontrar. Todos los fenómenos calificados como lineales en multitud de contextos están vinculados de algún modo a un espacio vectorial, lo que da una idea de su importancia. Por eso, en este post, hablamos de la estructura de un espacio vectorial.

¿Qué es un espacio vectorial?

Antes de hablar de la estructura de un espacio vectorial, conviene definir lo que es un espacio vectorial. Entre otras cosas, un espacio vectorial es:

  • Una representación gráfica.
  • Un conjunto de dimensiones donde pueden ubicarse los vectores.

Imagina un espacio vectorial como una sección de espacio en la que todos los vectores que residen allí, absolutamente todos los que nos podamos imaginar, tienen las mismas propiedades. Eso lo que indica es que todos los vectores que residen en el espacio vectorial son similares a partir de sus propiedades. En concreto, algunas de esas propiedades son la suma o el producto escalar, entre otras.

Un espacio vectorial no es más que un fundamento matemático que nos permite definir dónde se guardan los vectores. Las consecuencias que tiene el definir un espacio vectorial es que con todos los vectores que residen dentro del espacio vectorial se pueden hacer operaciones.

Entre estas operaciones se encuentra, por ejemplo, el cosine similarity. Esto es posible porque todos los vectores tienen las mismas dimensiones.

estructura de un espacio vectorial

La estructura de un espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a diez axiomas y con algunas propiedades, que conforman la estructura de un espacio vectorial.

Los 10 axiomas de los espacios vectoriales

Existen algunos axiomas presentes en la estructura de un espacio vectorial que merece la pena mencionar, como son:

  1. u + v ∈ V
  2. u + v = v + u
  3. (u + v) + w = u + (v + w)
  4. Existe un vector nulo 0V ∈ V tal que v + 0V = v
  5. Para cada v en V, existe un opuesto (–v) ∈ V tal que v + (-v) = 0V
  6. αv ∈ V
  7. α (u + v) = αu + αv
  8. (α + β) v = αv + βv
  9. α (βv) = (αβ) v
  10. 1v = v

Propiedades de los espacios vectoriales

Asimismo, la estructura de un espacio vectorial también tiene algunas propiedades importantes de resaltar. Entre ellas se encuentran:

Para la suma

  • Propiedad asociativa: si tenemos un vector u, v y w y sumamos v y w primero y, después, u, es igual que si lo hacemos de la forma contraria → u + (v + w) = (u + v) + w → ∀u, v, w ∈ V
  • Propiedad conmutativa: si hacemos u más v, va a ser igual que v más u → u + v = v + u → ∀u, v ∈ V
  • Existencia del elemento neutro: quiere decir que si a un vector le sumamos cero, el resultante es el vector original → Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v ∀u ∈ V
  • Existencia del elemento opuesto: sifnifica que si tenemos un elemento u y le restamos u, el resultado va a ser 0. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e

Para el producto escalar

Las propiedades de la estructura de un espacio vectorial en el producto escalar son casi iguales a las de la suma:

  • Propiedad asociativa: λ (µv) = (λµ) v ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R
  • Existencia del elemento neutro: 1v = v ∀v ∈ V
  • Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores: λ (u + v) = λu + λv y (λ + µ) v = λv + µv ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R
  • Propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares: (λ + µ) u = λv + µu ∀u ∈ V and ∀λ, µ ∈ R

¿Cómo continuar?

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