La factorización LU o eliminación gaussiana consiste en factorizar una matriz cuadrada en dos matrices triangulares, una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior, de modo que el producto de estas dos matrices da la matriz original.
El LU en el término viene del inglés Lower-Upper (que se traduce como inferior-superior).
Factorización LU
Si tenemos una matriz A, vemos:
A = LU
L y U son matrices inferiores y superiores triangulares, respectivamente.
Si pensamos en una matriz cuadrada:

Si la matriz A es invertible, es decir, tiene inversa, las matrices L y U son únicas.
¿Qué utilidad tiene la factorización LU?
- Resolver sistemas de ecuaciones.
- Cálculo de la matriz inversa: A-1 = U-1 L-1
Un ejemplo
Veamos un ejemplo de factorización LU para entender un poco más este concepto.
Con la siguiente matriz C, realizamos la factorización LU:

Aquí vamos a usar scipy para hacerlo. Para ello, lo único que tenemos que hacer es emplear el módulo de álgebra lineal de scipy y añadir lu al final, que es lo que nos hace la factorización.
Entonces, esto nos va a devolver la matriz l y la matriz u.
from scipy import linalg
C = np.array ([[2, 1, 1],
[1, 2, 1],
[1, 1, 2]])
_, l, u = linalg.lu (C)
l
array (
[[1. , 0. , 0. ],
[0.5 , 1. , 0. ],
[0.5 , 0.33333333 , 1. ],])
u
array (
[[2. , 1. , 1. ],
[0. , 1.5 , 0.5 ],
[0. , 0. , 1.33333333],])
Ambas son matrices triangulares.
Podemos comprobar que la fórmula de factorización LU es correcta y que al multiplicar lxu nos da la matriz original. Esto se logra realizando el producto matricial de L y U:
print (C)
([[2, 1, 1],
[1, 2, 1],
[1, 1, 2]])
La factorización, en general, nos permite hacer ese tipo de cosas. En este caso, estamos viendo la factorización LU o lower upper, que, como las demás, nos brinda la posibilidad de resolver diversos problemas relacionados con matrices.
Pasos para descomponer un sistema de ecuaciones utilizando factorización LU
- Obtener las matrices triangulares, esto es, la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
- Resolver Ly = B (para encontrar y).
- El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre y.
- Realizar Ux = y (para encontrar x).
- El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada x, la cual da los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
Vamos a encontrar las soluciones del sistema (usando la factorización LU):
4 x – 2 y – z = 9
5x + y – z = 7
x + 2 y – 4 z = 12
Este sistema puede escribirse como:

Donde:

Y B es igual a:

Primero calculamos las matrices L y U:
#factorización LU
A = np.array ([[4, -2, -1],
[5, 1, -1],
[1, 2, -4]])
_, L, U = linalg.lu (A)
print (L)
print (U)
[[1. 0. 0. ]
[0.8 1. 0. ]
[0.2 -0.64285714 1. ]]
[[5. 1. -1. ]
[0. -2.8 -0.2 ]
[0. -0. -3.92857143]]
El siguiente paso es resolver Ly = B y guardarlo en la variable y:
#factorización LU
import sympy as sp
import numpy as np
B = np.array ([[9],
[7],
[12]])
L:B = np.append (L, B, axis = 1)
print (L_B)
[[1. 0. 0. 9. ]
[0.8 1. 0. 7. ]
[0.2 -0.64285714 1. 12. ]]
Ahora resolvemos este sistema lineal:
#factorización LU
from sympy import MAtrix, solve_linear_system
from sympy.abc import x, y, z
L_B = Matrix (L_B)
y = solve_linear_system (L_B, x, y, z)
print (y)
{x: 9.00000000000000, y: -0.200000000000000, z: 10.0714285714286}
Luego, resolvemos Ux = y y lo guardamos en la variable x:
#factorización LU
y_res = list (y.values ())
y_array = np.array ((y_res))
print (y_array)
print (y_array.shape)
#Reshape y_array to (3, 1)
y_reshape = y_array.reshape (3, 1)
y = Matrix (y_reshape)
U_y = np.append (U, y, axis = 1)
print (U_y)
[[9.00000000000000 -0.200000000000000 10.0714285714286]]
(1, 3)
[[5.0 1.0 -1.0 9.0000000000000]
[0.0 -2.8 -0.19999999999999996 -0.20000000000000]
[0.0 0.0 -3.9285714285714384 10.0714285714586]]
print (U_Y.shape)
(3, 4)
Por último, resolvemos dicho sistema:
#factorización LU
from sympy.abc import x, y, z
x = solve_linear_system (Matrix (U_Y), x y, z)
print (X)
{x: 1.23636363636364, y: 0.254545454545455, z: -2:56363636363636}
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