La factorización LU o eliminación gaussiana consiste en factorizar una matriz cuadrada en dos matrices triangulares, una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior, de modo que el producto de estas dos matrices da la matriz original.

El LU en el término viene del inglés Lower-Upper (que se traduce como inferior-superior).

Factorización LU

Si tenemos una matriz A, vemos:

L y U son matrices inferiores y superiores triangulares, respectivamente.

Si pensamos en una matriz cuadrada:

Si la matriz A es invertible, es decir, tiene inversa, las matrices L y U son únicas.

¿Qué utilidad tiene la factorización LU?

• Resolver sistemas de ecuaciones.
• Cálculo de la matriz inversa: A^-1 = U^-1 L^-1

Un ejemplo

Veamos un ejemplo de factorización LU para entender un poco más este concepto.

Con la siguiente matriz C, realizamos la factorización LU:

Aquí vamos a usar scipy para hacerlo. Para ello, lo único que tenemos que hacer es emplear el módulo de álgebra lineal de scipy y añadir lu al final, que es lo que nos hace la factorización.

Entonces, esto nos va a devolver la matriz l y la matriz u.

from scipy import linalg

C = np.array ([[2,  1,  1],
                         [1,  2,  1],
                         [1,  1,  2]])

_, l, u = linalg.lu (C)

l

array (

[[1. , 0. , 0. ],

[0.5 , 1. , 0. ],

[0.5 , 0.33333333 , 1. ],])

u

array (

[[2. , 1. , 1. ],

[0. , 1.5 , 0.5 ],

[0. , 0. , 1.33333333],])

Ambas son matrices triangulares.

Podemos comprobar que la fórmula de factorización LU es correcta y que al multiplicar lxu nos da la matriz original. Esto se logra realizando el producto matricial de L y U:

print (C)

([[2, 1, 1],

[1, 2, 1],

[1, 1, 2]])

La factorización, en general, nos permite hacer ese tipo de cosas. En este caso, estamos viendo la factorización LU o lower upper, que, como las demás, nos brinda la posibilidad de resolver diversos problemas relacionados con matrices.

Pasos para descomponer un sistema de ecuaciones utilizando factorización LU

1. Obtener las matrices triangulares, esto es, la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
2. Resolver Ly = B (para encontrar y).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre y.
4. Realizar Ux = y (para encontrar x).
5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada x, la cual da los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

Vamos a encontrar las soluciones del sistema (usando la factorización LU):

Este sistema puede escribirse como:

Donde:

Y B es igual a:

Primero calculamos las matrices L y U:

#factorización LU
A = np.array ([[4,  -2,  -1],
                         [5,  1,  -1],
                         [1,  2,  -4]])

_, L, U = linalg.lu (A)

print (L)
print (U)

[[1. 0. 0. ]

[0.8 1. 0. ]

[0.2 -0.64285714 1. ]]

[[5. 1. -1. ]

[0. -2.8 -0.2 ]

[0. -0. -3.92857143]]

El siguiente paso es resolver Ly = B y guardarlo en la variable y:

#factorización LU
import sympy as sp
import numpy as np

B = np.array ([[9],
                         [7],
                         [12]])

L:B = np.append (L, B, axis = 1)
print (L_B)

[[1. 0. 0. 9. ]

[0.8 1. 0. 7. ]

[0.2 -0.64285714 1. 12. ]]

Ahora resolvemos este sistema lineal:

#factorización LU
from sympy import MAtrix, solve_linear_system
from sympy.abc import x, y, z

L_B = Matrix (L_B)

y = solve_linear_system (L_B,   x,   y,   z)
print (y)

{x: 9.00000000000000, y: -0.200000000000000, z: 10.0714285714286}

Luego, resolvemos Ux = y y lo guardamos en la variable x:

#factorización LU
y_res = list (y.values ())
y_array = np.array ((y_res))
print (y_array)
print (y_array.shape)

#Reshape y_array to (3, 1)
y_reshape = y_array.reshape (3, 1)

y = Matrix (y_reshape)
U_y = np.append (U, y, axis = 1)
print (U_y)

[[9.00000000000000 -0.200000000000000 10.0714285714286]]

(1, 3)

[[5.0 1.0 -1.0 9.0000000000000]

[0.0 -2.8 -0.19999999999999996 -0.20000000000000]

[0.0 0.0 -3.9285714285714384 10.0714285714586]]

print (U_Y.shape)

(3, 4)

Por último, resolvemos dicho sistema:

#factorización LU
from sympy.abc import x, y, z

x = solve_linear_system (Matrix (U_Y), x  y,  z)
print (X)

{x: 1.23636363636364, y: 0.254545454545455, z: -2:56363636363636}

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