Fórmula matemática del producto escalar

Autor: | Última modificación: 11 de enero de 2023 | Tiempo de Lectura: 2 minutos
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¿Sabes interpretar la fórmula matemática del producto escalar? El producto escalar o producto interno es el resultante de la multiplicación de dos vectores. Lo que hacemos con este es multiplicar los componentes y el resultado que nos dé es el producto escalar.

Fórmula matemática del producto escalar

Tenemos este gráfico:

Fórmula matemática del producto escalar 1
Gráfico de la fórmula matemática del producto escalar

Veamos la fórmula matemática del producto escalar:

Fórmula matemática del producto escalar
Fórmula matemática del producto escalar

La fórmula matemática del producto escalar viene dada por los componentes de la anterior imagen. Tenemos, pues, el módulo del vector u (|u|), el módulo del vector v (|v|) y el ángulo entre ambos (cos θ).

¿De qué nos sirve esto? Esto es bastante importante, dado que nos da pie a introducir la similitud entre vectores, muy usada en machine learning.

Casos especiales donde es aplicable la fórmula matemática del producto escalar

Primer caso

Tenemos, por lo tanto, el vector v y el vector u. ¿Qué sucede con el producto escalar? ¿Será mayor, menor o igual a cero?

Si utilizamos la ecuación y decimos que tenemos dos vectores que son perpendiculares, ¿qué significa esto? Que el producto escalar será igual a 0.

Fórmula matemática del producto escalar 2

El producto escalar es igual a 0 porque, como son perpendiculares, el coseno del ángulo de 90° es 0.

Fórmula matemática del producto escalar 3

Segundo caso

En este segundo caso tenemos dos vectores: el u y el v. En este caso el ángulo es menor a 90°, es decir, ambos vectores no son perpendiculares.

θ < 90°

¿Cuál será el resultado en esta situación? ¿El producto escalar será positivo, negativo…?

Una forma de ver esto es dibujando la ecuación del coseno:

Fórmula matemática del producto escalar 4

Aquí vemos que hay unas partes positivas (marcadas con flechas rojas) y unas partes negativas (marcadas con azul). Esto sería el coseno de θ.

Fórmula matemática del producto escalar 5

Lo que estamos viendo aquí es que, si el coseno es menor que 90, es positivo; por tanto, el producto escalar también va a ser positivo.

Fórmula matemática del producto escalar 6

Tercer caso

Este tercer caso es un caso opuesto al anterior, ya que en esta ocasión el ángulo entre el vector v y el vector v es mayor que 90°. Bajo estas condiciones, el producto escalar va a ser negativo. Esto viene dado por la gráfica del coseno, donde podemos ver que, en los números con un ángulo menor que 90°, el producto escalar es positivo. Por el contrario, en ángulos mayores a 90° el producto escalar es negativo.

Fórmula matemática del producto escalar 7
Fórmula matemática del producto escalar 8

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