Método de Newton

Autor: | Última modificación: 17 de octubre de 2022 | Tiempo de Lectura: 2 minutos
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El método de Newton es un método utilizado para encontrar, de forma iterativa, la raíz de una función.

¿Cómo se desarrolla el método de Newton?

Tenemos la siguiente función:

In [ ]: f_x<- function(x) {x^3}

x<-seq(-9,3,length.out = 180)
y<-f_x(x)

options (repr.plot.height-4, repr.plot.width=6) 
plot(x,y,t="l")
abline (h=0)
grid()
options(repr.plot.height=5, repr.plot.width=8)

plotDerivada<- function(x,color="red")
     delta <- 3
     lines(c(x-delta, x-delta),
               c(f x(x)-delta*3*x^2,f_x(x)+delta*3x^2),
               col-color)
}

plotDerivada(-7)
abline(v=-4.65, col-gray")
plotDerivada(-4.65, color="blue")
abline(v=-3.1,col="gray")
plotDerivada (-3.1, color orange")
método de newton gráfica

Tenemos que encontrar el cruce por 0 de esta función. Para ello, empezamos en un punto aleatorio, que en nuestro caso es -7 (plotDerivada(-7)). Con ello se pinta la recta de color rojo. Donde cruza esta recta pintamos otra vertical y, en ese mismo punto, se lanza otra derivada. Sale otra recta y hacemos lo mismo que con la anterior, y así infinitas veces hasta que converge a 0.

Este método iterativo aproxima el valor de la función a 0 siguiendo los siguientes pasos:

  1. Selecciona un punto inicial: x0.
  2. Traza una línea tangente a la curva, es decir, con pendiente igual a la derivada.
  3. Proyectar la línea anterior hasta que corte en y = 0. El valor de x donde corta será el nuevo x0.
  4. Repetir desde el paso 2 hasta que f(x) sea muy cercano a 0.

Estos pasos se pueden simplificar de la siguiente forma: podemos aproximar la función f(x) en un punto x cercano a x0 de la siguiente forma. Esto se considera una aproximación al desarrollo en serie de Taylor solo con la primera derivada:

Método de Newton 1

Si igualamos f(x) = 0 y despejamos x:

función

Encontrar el mínimo de una función equivale a encontrar la raíz de su derivada. Es decir, el mínimo siempre se encuentra en f'(x) = 0. Por lo tanto, podemos usar el método de Newton para encontrar el mínimo de una función. Solo hay que reemplazar f(x) por f'(x):

Método de Newton 2

Aplicamos de forma iterativa esa ecuación hasta que alcanzamos un mínimo.

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