Guía práctica de progresiones aritméticas: trucos y aplicaciones reales

Las progresiones aritméticas son una serie de números donde cada uno se obtiene sumando un mismo número al anterior. Ese número que se suma siempre se llama «diferencia». Por lo general no nos damos cuenta, pero usamos estas progresiones para casi todo: desde calcular la distancia recorrida en intervalos de tiempo iguales hasta distribuir tareas equitativamente en un proyecto.

Muchos aún no han logrado comprender del todo cómo funcionan las progresiones aritméticas, por eso creé esta guía práctica para explorar qué son, cómo se formulan y cómo aplicarlas en diferentes escenarios.

¿Qué son las progresiones aritméticas?

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada término y el siguiente es constante. Esta diferencia se llama razón o distancia de la progresión.

Imagina una escalera: cada escalón está a la misma distancia del anterior, ¿verdad? Pues una progresión aritmética es como esa escalera. Mira estos números 2, 5, 8, 11… ¿qué notaste? Mira que aquí, cada número es 3 unidades mayor que el anterior (la diferencia es 3).

Ejemplos:

• La secuencia 3, 5, 7, 9, 11, … es una progresión aritmética con diferencia d = 2.
• Otra secuencia como 10, 7, 4, 1, -2, … también es aritmética, pero con diferencia d = -3.

El truco es que cada término se obtiene sumando siempre el mismo valor al anterior.

Formulación: ¿cómo calcular cualquier término en una progresión aritmética?

Otro truco que debes aprenderte es que si conoces el primer término de la progresión (a₁) y la diferencia (d), puedes calcular cualquier término (aₙ) con la fórmula:

$a{n}_{}=a{1}_{}+(n–1)d$

Ejemplo práctico:

Si a₁ = 3 y d = 4, ¿cuál crees que es el término número 10?

$a{10}_{}=3+(10–1)4=39$

Aquí puedes darte cuenta que el décimo término de esta progresión es 39.

Monotonía: ¿cómo crecen o decrecen las progresiones aritméticas?

Ahora quiero explicarte que la monotonía de una progresión aritmética depende del signo de la diferencia d:

• Si d > 0, la secuencia es creciente (cada término es mayor que el anterior).
• Si d < 0, la secuencia es decreciente (cada término es menor que el anterior).
• Si d = 0, la progresión es constante (todos los términos son iguales).

Te muestro unos breves ejemplos de cada caso:

• Creciente: 2, 5, 8, 11, … (d = 3).
• Decreciente: 10, 7, 4, 1, -2, … (d = -3).
• Constante: 4, 4, 4, 4, … (d = 0).

Ejemplo de progresión creciente

Supongamos que una empresa de tecnología ofrece un bono anual a sus empleados que sigue una progresión aritmética. El primer año, el bono es de $2,000, y cada año aumenta en $500.

Podemos representar este caso con la fórmula de una progresión aritmética:

$B{n}_{}=2000+(n–1)500$

Determinando la monotonía

1. Como la diferencia d = 500 es positiva, la progresión es monótona creciente.
2. Cada año, el bono es mayor que el del año anterior.

Si queremos calcular el bono al cabo de 10 años, simplemente evaluamos:

$B{10}_{}=2000+(10–1)500=6500$

Después de 10 años, el bono anual será de $6,500. Este crecimiento constante confirma la monotonía creciente de la progresión.

Definición recursiva: expresando la progresión paso a paso

No olvides que puedes definir una progresión aritmética de manera recursiva, estableciendo el primer término y una regla para obtener los siguientes:

$\left\{\begin{array}{cc}a{1}_{}& =b\\ a{n}_{}& =a{\mathrm{n-1}}_{}+d\end{array}\right\}$

Esto significa que el primer término es b y cada nuevo término se obtiene sumando d al anterior.

Ejemplo:

Si a₁ = 5 y d = 3, entonces:

• a₂ = 5 + 3 = 8
• a₃ = 8 + 3 = 11
• a₄ = 11 + 3 = 14

Y así sucesivamente.

¿Cómo se suman los términos en una progresión?

Un truco adicional que te dejo es que la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se puede calcular con esta fórmula:

${\sum }_i^1{a}_i=\frac{n(a{1}_{}+a{n}_{})}{2}$

Ejemplo:
Si tienes la progresión 2, 5, 8, 11, 14, ¿cuál crees tú que es la suma de estos 5 términos?

${\sum }_i^1{a}_i=\frac{5(2+14)}{2}=40$

Como ves ahí clarito, la suma de los primeros 5 términos es 40.

Algunas aplicaciones reales de las progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas se aplican en muchas áreas, como:

• Finanzas: Cálculo de cuotas fijas en préstamos o rentas.
• Arquitectura: Diseño de escalones o estructuras repetitivas.
• Ciencia: Medición de datos en intervalos constantes.
• Tecnología: Creación de secuencias numéricas en algoritmos.

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