Conoce las progresiones geométricas: concepto y aplicaciones prácticas

Las progresiones geométricas son un tipo de secuencia donde no sumamos, sino que multiplicamos cada número por un valor fijo para obtener el siguiente. A ese valor fijo lo llamamos «razón«. Lo maravilloso de ellas es que tienen aplicaciones sorprendentes en la vida cotidiana y en la ciencia y están en todas partes: en el crecimiento de poblaciones, en los intereses bancarios y hasta en las famosas paradojas matemáticas.

No te preocupes que no son difíciles de entender, aquí voy a explicarte detalladamente qué son las progresiones geométricas, cómo funciona su definición recursiva, cómo determinar su monotonía, cómo calcular la suma de términos y te mostraré dos aplicaciones para que las veas en acción.

¿Qué son las progresiones geométricas?

Una progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante, llamado razón o factor de la progresión.

Imagina que lanzas una pelota contra el suelo y cada vez rebota la mitad de la altura anterior. Si la primera vez sube 1 metro, la siguiente vez subirá 0.5 metros, luego 0.25 metros, después 0.125 metros, y así sucesivamente. Esto es una progresión geométrica con razón r = 0.5.

Fórmula del término general

Si conoces el primer término a₁ y la razón r, puedes calcular cualquier término aₙ con la siguiente fórmula:

$a{n}_{}=a{1}_{}·r^{n–1}$

Ejemplo

Si a₁ = 3 y r = 2, el quinto término de la progresión es:

$a{5}_{}=3·2^{5–1}=48$

¿Te diste cuenta? Mira que el quinto término es 48.

Definición recursiva: ¿Cómo se calcula?

Aquí quiero que entiendas que, en lugar de calcular directamente cada término, puedes definir una progresión geométrica de forma recursiva. Observa muy bien la fórmula:

$\left\{\begin{array}{cc}a{1}_{}& =p\\ a{n}_{}& =a{\mathrm{n-1}}_{}·q\end{array}\right\}$

Esto significa que el primer término es p y cada término se obtiene multiplicando el anterior por q.

Ejemplo: Si a₁ = 5 y r = 3, entonces:

• a₂ = 5 × 3 = 15
• a₃ = 15 × 3 = 45
• a₄ = 45 × 3 = 135

Monotonía en progresiones geométricas

También quiero que te quede muy claro que la monotonía de una progresión geométrica depende de la razón r y del primer término a₁.

Condición	Comportamiento
r > 1	Creciente si a₁ > 0, decreciente si a₁ < 0
0 < r < 1	Decreciente si a₁ > 0, creciente si a₁ < 0
r = 1	Constante (todos los términos son iguales)
r < 0	Alternada (los términos cambian de signo)

Te muestro cómo se ve una progresión alternada:

Si a₁ = 2 y r = -3, los términos serán 2, -6, 18, -54, 162…, alternando signos.

Suma de términos en una progresión geométrica

Ojo a este dato que te explico aquí: En caso de que vayas a sumar los primeros n términos de una progresión geométrica, lo mejor es que uses esta fórmula:

$S{n}_{}=a{1}_{}·\frac{r^n–1}{r–1}$

Ejemplo:
Para la progresión 3, 6, 12, 24 con r = 2, la suma de los primeros 4 términos es:

$S{4}_{}=3·\frac{2^4–1}{2–1}=45$

Algunas aplicaciones prácticas de las progresiones geométricas (con ejemplos)

Quiero dejarte algunas aplicaciones prácticas para que veas por ti mismo cómo es que se usan las progresiones geométricas en la vida cotidiana:

Intereses compuestos en finanzas

Enfoquémonos en la parte de finanzas primero. Si depositas $1,000 en una cuenta con un 5% de interés anual, el monto después de n años sigue una progresión geométrica con r = 1.05:

$A{n}_{}=1000·{1.05}^n$

Después de 10 años, el saldo será $1,628.89.

Crecimiento exponencial de un virus

Ahora vamos a la parte de la medicina. Si un virus se duplica cada hora, empezando con 10 células, la población después de n horas es:

$P{n}_{}=10·2^n$

¿Qué quiere decir esto? Pues que en 5 horas, habrá 320 células.

Creo que ya te quedó más que claro que las progresiones geométricas no solo son un concepto matemático, sino una herramienta fundamental en ciencia, economía y tecnología.

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