¿Qué es la norma de un vector?

Autor: | Última modificación: 12 de abril de 2024 | Tiempo de Lectura: 2 minutos
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Se llama norma de un vector v (asociada al producto escalar anterior) al número real no negativo. Esta también se denomina módulo o longitud. Veamos cómo viene representada:

norma de un vector

Esta es una ecuación con la que ya hemos trabajado antes, pero escrita de diferente manera.

Como podemos ver, toda la ecuación está elevada a 1/2, lo que equivaldría a la raíz cuadrada. Si en vez de estar elevado a 1/2, estuviera elevado a otro número, por ejemplo 1/4 o 1/3, la norma cambiaría.

¿Por qué es interesante esto? Porque en física y geometría interesa conocer la longitud de dicho vector, por ello se define la norma de un vector.

¿En qué consiste la norma de un vector?

Por ejemplo, si definimos la distancia entre dos vectores u y v como la longitud de la diferencia u v, debemos definir la longitud de un vector. En lugar de usar el término longitud para vectores, generalmente usamos el término norma y viene denotada por ||v||.

¿Qué es la norma de un vector?

La norma de un vector cumple con las siguientes propiedades:

  • ||v|| es un número real no negativo.
  • ||v|| = 0 ↔ v = 0
  • Para cualquier escalar α, ||α . v|| = |α| . ||v||
  • ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

¿Cómo calculamos la norma de un vector en Python?

Usaremos un vector que ya está definido:

u_np

array ([1, 3, 5, 7])

La norma de un vector en Python la podemos calcular por medio de un módulo de álgebra lineal que pertenece a numpy y se denomina linalg.norm.

np.linalg.norm (u_np)

9.16515138991168

Este resultado sería, entonces, la norma o módulo del vector resultante.

Ejercicio

¿Se te ocurre otra forma de calcular la norma del vector u?

Al final, estamos realizando la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector u por el mismo u:

np.sqrt (u_np @ u_np)

9.16515138991168

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