Sistema de ecuaciones sin solución

¿Sabes cómo lidiar con un sistema de ecuaciones sin solución?

Existen dos tipos de sistemas de ecuaciones: los que tienen infinitas soluciones y el sistema de ecuaciones sin solución. Nosotros nos enfocaremos en este segundo, así pues, vamos a intentar resolver un ejercicio para ver qué sucede cuando tenemos un sistema de ecuaciones sin solución.

Sistema de ecuaciones sin solución

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos expresarlo en forma matricial, así:

Vamos a usar el mismo proceso que en otros ejercicios para poder encontrar un sistema de ecuaciones similar al inicial:

Tenemos, por tanto, un sistema de ecuaciones e intentaremos encontrar un sistema similar al inicial, pero en este caso realizaremos operaciones con las filas. De modo que:

#Sistema de ecuaciones sin solución
imoprt numpy as np
A = np.array ([[1,  2,  -1],
                         [-1,  1,  2],
                         [1,  5,  0]])

B = np.array ([[1],
                         [3],
                         [0]])

AB = np.concatenate ((A,  B), axis = 1)
print (AB)

[[1, 2, -1, 1]

[-1, 1, 2, 3]

[1, 5, 0, 0]]

#Sistema de ecuaciones sin solución
AB = np.array ((AB [0], AB [1], AB [2] - AB [0]))
AB

array (

[[1, 2, -1, 1]

[-1, 1, 2, 3]

[0, 3, 1, -1]])

El siguiente paso que podemos realizar es:

#Sistema de ecuaciones sin solución
AB_ = np.array ((AB [0], AB [1], AB [], AB [2]))
AB_

array (

[[1, 2, -1, 1]

[0, 3, 1, 4]

[0, 3, 1, -1]])

Por último:

#Sistema de ecuaciones sin solución
AB = np.array  ((AB [0], AB [1], AB [2] - AB [1]))
AB

array (

[[1, 2, -1, 1]

[0, 3, 1, 4]

[0, 0, 0, -5]])

La última fila de la matriz nos indica que algo raro sucede, porque 0 = -5 no tiene sentido. Aun así, vamos a resolverlo usando Sympy:

Igualamos a 0:

#Sistema de ecuaciones sin solución
from sumpy.solvers import * 
from sympy import *

#Definir las variables que queremos resolver
x = Symbol ('x')
y = Symbol ('y')
z = Symbol ('z')

fun1 = x + 2 * y - z - 1
fun2 = 3 * y + z - 4
fun3 = -5

#Sistema de ecuaciones sin solución
solucion = solve ([fun1, fun2, fun3], [x, y, z])

#Sistema de ecuaciones sin solución
print (solucion)

[ ]

La solución está vacía, lo que indica que este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución y, por tanto, es un sistema incompatible.

Resumiendo

AX = B

Esto es válido para cuando B ≠ 0. No obstante, si en el sistema de ecuaciones B = 0, dicho sistema se denomina sistema homogéneo y son siempre compatibles, es decir, siempre tiene alguna solución. La verdad es que tiene sentido, porque siempre van a admitir la solución trivial de X = 0.

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