¿Qué son las ecuaciones cuadráticas y cuáles son sus tipos?

Las ecuaciones cuadráticas son fundamentales en matemáticas y en múltiples disciplinas como la física, la informática y la ingeniería. Son ecuaciones de segundo grado en las que el exponente máximo de la incógnita es 2. En este artículo, exploraremos qué son, sus principales características y los distintos tipos que existen.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es aquella que tiene la siguiente forma general:

Donde:

• a, b y c son constantes con a ≠ 0
• x es la variable incógnita.

Esta ecuación representa una parábola en un gráfico cartesiano y puede tener hasta dos soluciones, dependiendo de los valores de sus coeficientes.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática?

Las soluciones de una ecuación cuadrática pueden encontrarse mediante la fórmula general:

El valor dentro de la raíz cuadrada, b²−4ac, se llama discriminante y determina la naturaleza de las soluciones.

Naturaleza de las soluciones según el discriminante

Dependiendo del signo del discriminante (Δ), la ecuación cuadrática puede tener:

• Dos soluciones reales distintas (Δ > 0): la parábola corta el eje X en dos puntos.
• Una solución real doble (Δ = 0): la parábola toca el eje X en un solo punto.
• Dos soluciones complejas conjugadas (Δ < 0): la parábola no toca el eje X y sus raíces son números complejos.

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden clasificarse en diferentes tipos según la presencia o ausencia de ciertos términos.

1. Ecuaciones cuadráticas completas

Son aquellas que incluyen los tres términos: ax²+bx+c=0, con a, b y c distintos de cero.

Ejemplo:

2. Ecuaciones cuadráticas incompletas

Son ecuaciones en las que faltan uno o más términos.

a) Sin término independiente (c=0)

Tienen la forma: ax²+bx=0

Se pueden resolver factorizando: x(ax+b)=0

Ejemplo:

Las soluciones son x=0 y x=4.

b) Sin término lineal (b=0)

Tienen la forma: ax²+c=0

Se resuelven despejando x:

Ejemplo:

Si −c/a es negativo, las soluciones serán números complejos.

3. Ecuaciones cuadráticas factorizables

Son ecuaciones que pueden expresarse como el producto de dos binomios.

Ejemplo: x²−5x+6=0

Se factoriza como: (x−2)(x−3)=0

Las soluciones son x=2 y x=3.

4. Ecuaciones cuadráticas con coeficientes fraccionarios o decimales

Cuando los coeficientes de la ecuación son fracciones o decimales, se pueden eliminar multiplicando por el mínimo común denominador para facilitar la resolución.

Ejemplo:

Multiplicamos por 8 para eliminar fracciones:

Y resolvemos con la fórmula general.

Métodos de resolución

1. Factorización

La factorización es útil cuando la ecuación puede expresarse como el producto de dos binomios.

Ejemplo: x²−7x+10=0

Se factoriza como: (x−5)(x−2)=0

Soluciones: x=5, x=2

2. Fórmula general

Se usa cuando la ecuación no es fácilmente factorizable.

Ejemplo: x²−4x+1=0

Aplicamos la fórmula cuadrática:

3. Completar el cuadrado

Consiste en transformar la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: x²+6x+5=0

Se reescribe como: (x+3)²−4=0

Despejamos x:

(x+3)²=4

x+3=±2

x=−3±2

Soluciones: x=−1, x=−5.

Las ecuaciones cuadráticas son una herramienta fundamental en matemáticas y en diversas disciplinas. Conocer sus tipos y métodos de resolución te permitirá abordar problemas matemáticos y de la vida real con mayor facilidad.

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