Conoce los exponentes y radicales: diferencias y cómo usarlos en matemáticas

¿Será que puedes simplificar cálculos sin hacer operaciones interminables? ¡Pues claro! Con los exponentes y radicales. Te sorprenderá saber que con estas herramientas matemáticas puedes expresar multiplicaciones repetitivas y raíces. Además, es mucho más fácil resolver problemas complejos en distintas áreas, desde la física hasta la informática.

¿Qué son los exponentes?

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica una base por sí misma. Se representa de la siguiente manera:

$a^n$

Donde:

• a es la base.
• n es el exponente.

Por ejemplo, si tienes 3⁴, significa que multiplicas 3 por sí mismo cuatro veces:

$3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$

Propiedades de los exponentes

• Producto de potencias con la misma base:

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

• División de potencias con la misma base:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m–n}$

• Exponente negativo:

$a^{–n}=\frac{1}{a^n}$

• Exponente cero (siempre que a sea diferente de 0):

$a^0=1$

¿Qué son los radicales?

Un radical es la operación inversa de un exponente. Es decir, en lugar de multiplicar varias veces un número, buscamos un número que, al elevarlo a cierta potencia, nos dé el radicando:

$\sqrt[n]{a}$

Donde:

• a es el radicando.
• n es el índice de la raíz.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es:

$\sqrt[2]{16}=4$

Propiedades de los radicales

• Radical de un producto:

$\sqrt[n]{a·b}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}$

• Radical de un cociente:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

• Conversión entre radicales y exponentes fraccionarios:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Diferencias entre exponentes y radicales

Te explico algunas diferencias entre exponentes y radicales, para que no te confundas:

• Los exponentes aumentan el valor de un número al multiplicarlo por sí mismo, mientras que los radicales buscan qué número elevado a una potencia nos da el radicando.

• Un exponente fraccionario representa un radical, como en:

${\mathrm{27}}^{\frac{1}{3}}=3$

• Los exponentes negativos indican el inverso multiplicativo, mientras que los radicales no pueden aplicarse a números negativos si el índice es par.

¿Cuándo usar exponentes y radicales?

Para que entiendas bien cuándo debes usar exponentes y radicales, quiero dejarte varias situaciones:

Cuándo usar exponentes

• Crecimiento exponencial y finanzas: Los exponentes se utilizan para modelar el crecimiento de poblaciones, bacterias, inversiones y fenómenos de interés compuesto.

Ejemplo: La fórmula del interés compuesto es:

$A=P·{1+r}^t$

• A es el monto final
• P es el capital inicial
• r es la tasa de interés
• t es el tiempo en años.

Si inviertes $1,000 con una tasa del 5% anual durante 3 años, el monto final será:

$1000·{1.05}^3=1157.63$

• Cálculo de áreas y volúmenes: En geometría, permiten calcular áreas y volúmenes de figuras.

Ejemplo: El volumen de un cubo de lado a se expresa como:

$a^3$ Si a=4, entonces: $4^3=64$ unidades cúbicas.

• Velocidad de cómputo en algoritmos: En informática y criptografía, se usan para medir la complejidad de algoritmos y realizar cifrados.

Ejemplo: La cantidad de operaciones necesarias para recorrer una matriz n x n es:

$n^2$ Para n=10, se necesitan: ${10}^2=100$ operaciones.

Cuándo usar radicales

• Cálculo de longitudes en geometría (Teorema de Pitágoras): Los radicales permiten encontrar longitudes exactas en triángulos rectángulos.

Ejemplo: En un triángulo con catetos de 3 y 4 unidades, la hipotenusa se calcula como:

$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$

• Conversión entre sistemas de medida: Algunas conversiones de unidades requieren radicales, como convertir metros cuadrados a metros lineales en construcciones.

Ejemplo: Si un terreno tiene un área de 64 m² y es cuadrado, su lado es:

$\sqrt{64}=8$ metros.

• Ecuaciones en física y química: En cinemática, la velocidad final de un objeto que cae libremente se obtiene con un radical.

Ejemplo: Si un objeto cae desde una altura h, su velocidad final es:

$v=\sqrt{2·g·h}$ Para h=20 m y g = 9.8 $\sqrt{2·9.8·20}\backslash approx19.8$ m/s.

¿Vale la pena aprender exponentes y radicales?

¡Claro que sí! Cuando dominas los exponentes y radicales se te facilitarán las cosas en matemáticas y en muchas disciplinas como programación, ciencia de datos y finanzas. ¿Quieres aprender más sobre lógica y estructuras matemáticas aplicadas al código? Apúntate al Bootcamp de Programación desde Cero de KeepCoding y transforma tu futuro.