Análisis dimensional: aprende cómo funciona con ejercicios resueltos

Si alguna vez te has preguntado cómo es posible analizar fenómenos físicos sin necesidad de realizar complicados cálculos matemáticos, el análisis dimensional es la respuesta. Esta poderosa herramienta nos permite simplificar ecuaciones, validar resultados y hasta diseñar experimentos en modelos a escala. En este artículo, aprenderás cómo funciona el análisis dimensional, su importancia y resolveremos un ejercicio para que lo comprendas mejor.

¿Qué es el análisis dimensional?

El análisis dimensional es un método que permite estudiar sistemas físicos a través de las dimensiones de las magnitudes involucradas. En otras palabras, en lugar de trabajar directamente con valores numéricos, analizamos cómo interactúan las unidades de medida dentro de una ecuación. Esto nos ayuda a:

• Detectar errores en cálculos científicos y de ingeniería.
• Reducir el número de variables independientes de un problema.
• Desarrollar modelos a escala que predicen el comportamiento de sistemas reales.
• Resolver problemas sin conocer todas las ecuaciones exactas.

El teorema π de Vaschy-Buckingham es la base del análisis dimensional. Este teorema establece que cualquier ecuación física puede reescribirse en términos de números adimensionales, reduciendo la cantidad de parámetros a analizar.

Principios básicos del análisis dimensional

El análisis dimensional se basa en dos principios fundamentales:

1. Principio de homogeneidad dimensional

Cualquier ecuación física debe ser dimensionalmente homogénea, lo que significa que todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, en la ecuación de energía cinética:

$E=\frac{1}{2}m{v}^2$

Las dimensiones de cada término son:

$\mathrm{[E]}=M{L}^2{T}^{–}, \mathrm{[m]}=M, \mathrm{[v]}=L{T}^{–}$

Al reemplazar en la ecuación:

$M·\left(L{T}^{–}\right)2^{}=M{L}^2{T}^{–}$

Esto confirma que la ecuación es dimensionalmente correcta.

2. Teorema π de Vaschy-Buckingham

Este teorema establece que, en un sistema físico con n variables dimensionales y m unidades fundamentales (longitud, tiempo, masa, etc.), el número de grupos adimensionales es n – m. Esto simplifica el estudio del sistema reduciendo la cantidad de variables necesarias.

Si tenemos un conjunto de variables x₁, x₂,…, x_n con dimensiones [x₁], [x₂],…, [x_n], podemos definir un número adimensional Π como una combinación de estas variables:

$\Pi =x_1^{\mathrm{a\_1}}·x_2^{\mathrm{a\_2}}·\dots ·x_n^{\mathrm{a\_n}}$

Para que Π sea adimensional, sus dimensiones deben anularse:

${\mathrm{[x\_1]}}^{\mathrm{a\_1}}·{\mathrm{[x\_2]}}^{\mathrm{a\_2}}·\dots ·{\mathrm{[x\_n]}}^{\mathrm{a\_n}}=1$

De aquí obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite calcular los exponentes a₁, a₂,…,a_n y reducir la cantidad de variables independientes en el problema.

Pasos para realizar un análisis dimensional

Para aplicar el análisis dimensional en un problema, seguimos estos pasos:

1. Identificar las variables dimensionales del problema.
2. Contar el número de unidades fundamentales involucradas (longitud, tiempo, masa, etc.).
3. Determinar el número de grupos adimensionales, usando n – m.
4. Formar ecuaciones adimensionales, combinando variables mediante exponentes desconocidos.
5. Resolver el sistema de ecuaciones para determinar las relaciones entre las variables.

Ejemplo resuelto: caída libre

Vamos a calcular la velocidad v de un objeto en caída libre mediante análisis dimensional. Sabemos que la velocidad depende de la altura h y la gravedad g.

• 1. Definir las dimensiones de las variables:

$\mathrm{[v]}=L{T}^{–}, \mathrm{[h]}=L, \mathrm{[g]}=L{T}^{–}$

• 2. Proponer una relación general

$v\propto h^a·g^b$

• 3. Expresar en términos dimensionales

$L{T}^{–}=L^a·L^b·T^{–}$

• 4. Agrupar exponentes y plantear ecuaciones:

Para la dimensión de longitud L:

$a\; +\; b\; =\; 1$

Para la dimensión de tiempo T:

$-2b\; =\; -1$

• 5. Resolver el sistema de ecuaciones

Resolviendo para b:

$b\; =\frac{1}{2}$

Sustituyendo en la ecuación de L:

$a\; +\frac{1}{2}=\; 1$ $a\; =\frac{1}{2}$

• 6. Obtener la ecuación final

$v\; =\; k\sqrt{g\; h}$

Este resultado coincide con la ecuación conocida para la velocidad en caída libre, donde kk es una constante que depende de las condiciones del sistema.

El análisis dimensional es una herramienta poderosa que permite simplificar problemas complejos, validar ecuaciones y diseñar experimentos de manera eficiente. Gracias a su capacidad para reducir el número de variables independientes, es ampliamente utilizado en diversas disciplinas científicas y de ingeniería.

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