¿Qué es el sistema compatible indeterminado?

El sistema compatible indeterminado es uno de los tres sistemas de ecuaciones que existen y, en este post, veremos en qué consiste.

Sistema compatible indeterminado

Observa el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos expresarlo como:

Ahora, vamos a intentar resolverlo:

#Sistema compatible indeterminado
A = np.array ([[1,  2,  -1],
                         [-1,  1,  2],
                         [1,  5,  -0]])

B = np.array ([[1],
                         [3],
                         [5]])

Lo primero es calcular el determinante de A. Si es 0, el sistema tendrá una única solución, pero si det (A) = 0, será indeterminado o no tendrá solución.

#Sistema compatible indeterminado
det_A = np.linalg-det (A)
print (det_A)

0.0

En este caso, el determinante de A es 0, por lo que hay dos opciones: tiene infinitas soluciones o no tiene solución ¿Qué podemos hacer para averiguarlo?

Vamos a aplicar el método de eliminación de Gauss para ver si podemos encontrar un sistema equivalente. Aquí vamos a usar la matriz ampliada, por lo que a la matriz A vamos a añadirle a la derecha la matriz B:

print (A)
print (B)

[[ 1 2 -1 ]

[ -1 1 2 ]

[ 1 5 0 ]]

[[ 1 ]

[ 3 ]

[ 5 ]]

#Sistema compatible indeterminado
AB = np.concatenate ((A, B), axis = 1)
AB

array (

[[ 1, 2, -1, 1 ],

[ -1, 1, 2, 3 ],

[ 1, 5, 0, 5]])

Recordemos que el objetivo del método de Gauss es transformar un sistema en otro equivalente que tiene el mismo conjunto solución:

#Sistema compatible indeterminado
AB = np.array ([AB[0], AB[1], AB[2] - AB[0]])
AB

array (

[[ 1, 2, -1, 1 ],

[ -1, 1, 2, 3 ],

[ 0, 3, 1, 4 ]])

El siguiente paso que podemos hacer es:

#Sistema compatible indeterminado
AB = np.array ([AB[0], AB[1], + AB[0],  AB[2]])
AB

array (

[[ 1, 2, -1, 1 ],

[ 0, 3, 1, 4 ],

[0, 3, 1, 4]])

Por último, el siguiente paso que podemos hacer es:

#Sistema compatible indeterminado
AB = np.array ([AB[0], AB[1], AB[2] - AB[1]])
AB

array (

[[ 1, 2, -1, 1 ],

[ 0, 3, 1, 4 ],

[0, 0, 0, 0]])

Con los pasos que hemos realizado hemos obtenido un sistema equivalente de ecuaciones al inicial, el cual podemos intentar resolver.

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