Cuando te adentras en el mundo del álgebra abstracta, es probable que te encuentres con el concepto de cuerpos algebraicos. Esta estructura matemática es fundamental en muchas áreas de las matemáticas y la computación, y aunque su definición puede parecer técnica, en realidad se basa en propiedades que ya conoces de los números con los que trabajas a diario.

En este artículo, exploraremos qué son los cuerpos en matemáticas, cómo funcionan y por qué son esenciales en disciplinas como la criptografía, la teoría de números y la geometría algebraica.

¿Qué encontrarás en este post?

¿Qué son los cuerpos algebraicos?

Un cuerpo algebraico o cuerpo en matemáticas es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos con dos operaciones, suma y multiplicación, que cumplen ciertas propiedades: asociatividad, conmutatividad, existencia de neutros e inversos, y distributividad de la multiplicación sobre la suma. Ejemplos comunes incluyen los números racionales, reales y complejos. En un cuerpo, cualquier número distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que permite realizar operaciones sin restricciones, excepto la división por cero. Los cuerpos algebraicos son fundamentales en álgebra, teoría de números, criptografía y muchas ramas de la matemática y la computación.

Por ejemplo, imagina que trabajas con un conjunto de números y tienes dos operaciones básicas: suma y multiplicación. Para que este conjunto sea un cuerpo algebraico, debe cumplir ciertas reglas que aseguran que las operaciones sean consistentes y útiles.

Formalmente, un cuerpo es un conjunto de elementos sobre el cual se definen dos operaciones (suma y multiplicación) que cumplen con ciertas propiedades:

Clausura: Al sumar o multiplicar dos elementos del cuerpo, el resultado sigue perteneciendo al cuerpo.
Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) y (a * b) * c = a * (b * c).
Conmutatividad: a + b = b + a y a * b = b * a.
Elementos neutros: Existe un 0 que no cambia un número al sumarlo (a + 0 = a) y un 1 que no cambia un número al multiplicarlo (a * 1 = a).
Inversos: Para cada a, existe -a tal que a + (-a) = 0 y para cada a ≠ 0, existe a⁻¹ tal que a * a⁻¹ = 1.
Distributividad: a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Ejemplos de cuerpos en matemáticas

Los cuerpos algebráicos no son solo una abstracción matemática. De hecho, ya los usas sin darte cuenta:

Números racionales (Q): El conjunto de fracciones con numerador y denominador enteros.
Números reales (R): Incluye todos los racionales y los irracionales como π o √2.
Números complejos (C): Conjunto que extiende los reales al incluir i, la unidad imaginaria, donde i² = -1.
Cuerpos finitos: Conjuntos con un número finito de elementos, usados en criptografía y teoría de códigos.

Tipos de cuerpos algebraicos

Podemos clasificar los cuerpos en diferentes tipos dependiendo de sus propiedades y el contexto donde se usan.

Cuerpos numéricos

Son los cuerpos más comunes en matemáticas:

Q (números racionales)
R (números reales)
C (números complejos)
Qp (números p-ádicos, usados en teoría de números)

Cuerpos finitos

También llamados cuerpos de Galois, tienen un número finito de elementos. Se denotan como Fp (cuerpo de números enteros módulo un primo p). Son clave en informática y telecomunicaciones.

Cuerpos algebraicamente cerrados

Un cuerpo es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante con coeficientes en él tiene al menos una raíz dentro del mismo cuerpo. Por ejemplo, C es algebraicamente cerrado, mientras que R no lo es (porque x² + 1 = 0 no tiene solución en R).

Los cuerpos algebraicos son una de las estructuras más importantes en matemáticas y tecnología. Desde garantizar la seguridad de las transacciones digitales hasta modelar el comportamiento del espacio-tiempo en física, su impacto es enorme.

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