Vectores y espacios vectoriales: ¿qué son y cómo se relacionan?

Cuando hablamos de matemáticas aplicadas a la informática y la ingeniería, los vectores y espacios vectoriales aparecen por todas partes. Desde gráficos en videojuegos hasta inteligencia artificial, entender estos conceptos es clave para resolver problemas de manera eficiente. Pero, ¿qué son exactamente y por qué son tan importantes? Vamos a descubrirlo.

¿Qué es un vector y cómo funciona?

Un vector es un objeto matemático que tiene magnitud y dirección. En términos simples, es como una flecha en un espacio determinado. Si has jugado a algún videojuego en 3D, cada movimiento del personaje se basa en cálculos con vectores.

Matemáticamente, un vector en un espacio tridimensional se representa como una tupla de tres números: v=(x,y,z)

donde cada componente representa su posición en cada eje.

Los vectores permiten operaciones como:

• Suma de vectores: Se suman componente a componente:

(x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

• Multiplicación por un escalar: Se multiplica cada componente por un número real.

α⋅(x,y,z)=(αx,αy,αz)

Estos conceptos básicos se generalizan a cualquier número de dimensiones, formando lo que se conoce como espacios vectoriales.

¿Qué es un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un conjunto de vectores en el que se pueden realizar operaciones de suma y multiplicación por escalares cumpliendo ciertas reglas. Para que un conjunto sea un espacio vectorial, debe cumplir con estos axiomas:

1. Cerradura bajo la suma: Si u y v son vectores del espacio, su suma u+v también debe estar en el espacio.
2. Conmutatividad: u + v = v + u
3. Asociatividad: (u + v) +w = u + (v + w)
4. Existencia del vector nulo: Hay un vector 0 tal que v + 0 = v.
5. Existencia del opuesto: Para cada vector v, existe −v tal que v + (−v) = 0
6. Cerradura bajo la multiplicación por escalares: Si v es un vector y α un escalar, αv también está en el espacio.
7. Distribución de escalares sobre la suma de vectores: α (u + v) = αu + αv
8. Distribución de escalares sobre la suma de escalares: (α + β) v = αv + βv)
9. Asociatividad de la multiplicación por escalares: α (βv) = (αβ) v
10. Elemento neutro multiplicativo: 1v = v

Si un conjunto de vectores cumple con estas reglas, se dice que es un espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales

1. El espacio euclidiano Rⁿ: El ejemplo más intuitivo es el espacio Rⁿ, que representa el espacio de n-tuplas de números reales. Por ejemplo, R³ contiene todos los vectores de la forma (x,y,z).
2. El espacio de matrices R^m×n: El conjunto de todas las matrices de tamaño m×n también forma un espacio vectorial, donde la suma de matrices y la multiplicación por escalares se definen de manera natural.
3. El espacio de polinomios P_n: El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n es otro espacio vectorial. La suma de polinomios y la multiplicación por escalares respetan los axiomas.
4. El espacio de funciones continuas C([a,b]): El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalo [a,b] es un espacio vectorial si se definen la suma de funciones y la multiplicación por escalares de la forma habitual.

Relación entre vectores y espacios vectoriales

La relación existente entre vectores y espacios vectoriales está determinada por el hecho de que los vectores son los elementos básicos dentro de un espacio vectorial. Un espacio vectorial es simplemente un conjunto de vectores con reglas bien definidas sobre cómo pueden combinarse.

Subespacios vectoriales

Dentro de las relaciones entre vectores y espacios vectoriales se encuentran los subespacios. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple con todas sus propiedades. Por ejemplo, en R³, cualquier plano que pase por el origen es un subespacio vectorial.

Para que W sea un subespacio de un espacio vectorial V, debe cumplir con:

1. Incluir el vector cero: 0 ∈ W
2. Ser cerrado bajo la suma: Si u, v ∈ W, entonces u + v ∈ W
3. Ser cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si v ∈ W y α es un escalar, entonces αv ∈ W

Los vectores y espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas y sus aplicaciones en el mundo real. Entender cómo operan y sus propiedades te permitirá abordar problemas en informática, ciencia de datos, ingeniería y más. Si quieres profundizar en estos conceptos y aplicarlos en la vida real, el Bootcamp en inteligencia artificial y machine learning de KeepCoding te dará las herramientas necesarias para dominar la tecnología y abrirte paso en la industria IT. ¿Listo para transformar tu futuro?