¿Qué es la distribución de Poisson y cómo aplicarla en la vida real?

La distribución de Poisson básicamente describe cuántas veces sucede algo en un tiempo o lugar específico, eso sí, se debe saber con qué frecuencia suele suceder normalmente, para que sea precisa. Con ella puedes calcular la probabilidad de que lleguen exactamente 5 clientes a tu negocio en una hora o determinar cuántos errores tipográficos pueden aparecer en una página de texto. Fascinante, ¿no?

Te voy a explicar qué es la distribución de Poisson, sus propiedades y cómo aplicarla en la vida real con ejemplos detallados.

¿Qué es la distribución de Poisson?

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio, siempre que estos eventos sucedan de manera independiente y con una tasa constante.

Suele usarse cuando los eventos ocurren raramente, como accidentes de tráfico en una carretera o errores en el ensamblaje de productos.

Matemáticamente, se denota como:

$X\sim \mathrm{Poisson}\left(\lambda \right)$

Te explico esa fórmula:

• X es la variable aleatoria que representa el número de eventos en un intervalo.
• λ es la tasa media de ocurrencia de eventos en ese intervalo.

Función de probabilidad de Poisson

Cuando vayas a calcular la probabilidad de que ocurran exactamente k eventos en un intervalo, tendrás que usar la función de probabilidad de Poisson que te muestro aquí:

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{–\lambda }}{k!}$

Para que no te confundas, te la desgloso:

• e es el número de Euler (e ≈ 2.718).
• k! es el factorial de k, es decir, el producto de los enteros desde 1 hasta k.

Propiedades de la distribución de Poisson

Quiero mostrarte las tres propiedades de la distribución de Poisson que la caracterizan:

• Media o esperanza matemática: Recuerda siempre que, la media de una distribución de Poisson es igual a su parámetro λ.

$E\left(X\right)=\lambda$

• Varianza: Ojo, porque la varianza también es igual a λ, lo que significa que la dispersión de los datos depende directamente de la tasa de ocurrencia.

$\mathrm{Var}\left(X\right)=\lambda$

• Independencia: Ten presente que los eventos en diferentes intervalos son independientes, es decir, la ocurrencia de un evento no afecta a los siguientes.

¿Cómo se realiza la suma de variables aleatorias de Poisson?

Si tienes dos variables aleatorias independientes X1​∼Poisson(λ1​) y X2​∼Poisson(λ2​), la suma de estas variables también sigue una distribución de Poisson con parámetro λ1​+λ2:

$Y=X\_ii=1\mathrm{N}\sim \mathrm{Poisson}\left(\lambda \_ii=1\mathrm{N}\right)$

¿Cómo aplicarla en la vida real con ejemplos?

La distribución de Poisson tiene múltiples aplicaciones prácticas. Te dejo dos ejemplos para que más o menos te guíes y sepas en qué situaciones te servirá:

1. Llamadas a un centro de atención al cliente

Un centro de llamadas recibe en promedio 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto reciba exactamente 3 llamadas?

Aquí:

• λ=5 (tasa promedio de llamadas por minuto)
• k=3 (número exacto de llamadas que queremos calcular)

Aplica la fórmula:

$P(X=3)=\frac{5^3{e}^{–5}}{3!}$

Después de resolverla correctamente, obtienes una probabilidad de aproximadamente 14.04%.

2. Número de errores en páginas de texto

Supongamos que en un documento de 100 páginas, en promedio hay 2 errores tipográficos por página. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 4 errores en una página?

Haces lo mismo que en el ejemplo anterior:

• λ=2
• k=4

Procedes a aplicar la fórmula:

$P(X=4)=\frac{2^4{e}^{–2}}{4!}$

¿Te diste cuenta? Mira que el resultado nos da una probabilidad de 9.05%.

La distribución de Poisson es esencial para modelar eventos en los que ocurrencias raras tienen una tasa promedio constante. Ahora, si realmente quieres aprender a programar estas y muchas más herramientas estadísticas, nuestro Bootcamp de Big Data, Data Science, Machine Learning e IA de KeepCoding te dará las bases para dominar la programación y aplicar estadísticas en proyectos reales. ¡Únete y transforma tu futuro!