¿Qué son los números irracionales y cómo puedes aprender a usarlos?

Los números irracionales son los rebeldes de la familia numérica, no puedes expresarlos en fracciones y tienen decimales que siguen y siguen sin parar. El famoso π (pi), el número e o la raíz cuadrada de 2 hacen parte de este grupo.

Si te parecen difíciles, puedes estar tranquilo porque en su momento también presentaron un desafío para los antiguos griegos, pero son muy importantes en la ciencia y en la tecnología. Por eso, te contaré qué son y cómo puedes aprender a usarlos.

¿Qué son los números irracionales?

Imagina que intentas escribir un número como fracción, es decir, como el cociente entre dos enteros m y n con n ≠ 0. Si el número puede expresarse así, es racional. Pero si no hay forma de escribirlo como fracción, entonces es irracional. Formalmente, podemos definirlos así:

$I=R-Q=\{x\in R|x\notin Q\}$

Esto significa que los números irracionales son todos los números reales que no son racionales. Su expresión decimal es infinita y no periódica, como en estos ejemplos:

• π ≈ 3.1415926535…
• e ≈ 2.7182818284…
• √2 ≈ 1.4142135623…

La historia nos cuenta que los griegos pitagóricos quedaron en shock cuando descubrieron que la raíz cuadrada de 2 no podía expresarse como una fracción. Se dice que Hipaso de Metaponto, quien hizo este hallazgo, fue castigado por desafiar la creencia de que todos los números podían expresarse como proporciones de enteros.

Clasificación de los números irracionales

Los números irracionales se dividen en dos grandes grupos:

1. Números algebraicos

Son aquellos que son solución de alguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Es decir, si un número irracional puede ser el resultado de una ecuación como esta:

$a{x}^n+b{x}^{\mathrm{n-1}}+\dots +c=0$

Entonces es un número algebraico irracional. Algunos ejemplos son:

• √2, que es solución de x² – 2 = 0
• φ (número áureo), que es solución de x² – x – 1 = 0

2. Números trascendentes

Estos no son solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Ejemplos muy conocidos:

• π, que es la razón entre la circunferencia y su diámetro.
• e, la base de los logaritmos naturales.

Los números trascendentes son aún más «extraños» que los algebraicos y tienen aplicaciones importantísimas en áreas como la criptografía y la física.

Propiedades de los números irracionales

Algo que no puedes olvidar son las características de los números irracionales, porque de verdad son bastante interesantes:

1. La suma o resta de un número racional con un irracional es irracional:

$a\in Q,b\in I⟹a\pm b\in I$

2. El producto de un racional distinto de cero por un irracional sigue siendo irracional:

$a\in Q,b\in I⟹a\cdot b\in I$

3. Entre cualquier par de números racionales distintos, siempre hay al menos un número irracional.

Esto significa que los números irracionales «llenan» los huecos en la recta real, lo que hace que los números racionales sean solo una pequeña parte del conjunto de los números reales.

¿Cómo aprender a usarlos con ejemplos?

Los números irracionales están presentes en muchas áreas de la matemática y la vida cotidiana. Aquí tienes algunas formas de aprender a manejarlos:

1. Identificación de números irracionales

Para comprobar si un número es irracional, intenta escribirlo como fracción. Si no puedes, probablemente sea irracional. Ejemplo:

$\sqrt{7}=2.6457513110645905$

Este número no tiene una expresión decimal exacta ni periódica, por lo que es irracional.

2. Uso en geometría

En el teorema de Pitágoras, las hipotenusas muchas veces resultan en números irracionales. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo con catetos de 1:

$c=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx 1.414$

3. Aplicaciones en la vida real

• π se usa en cálculos de circunferencias y esencias de ingeniería.
• e aparece en modelos de crecimiento exponencial como el interés compuesto.
• El número áureo φ se encuentra en la naturaleza y en el arte.

Te lo dije, los números irracionales pueden parecer misteriosos o difíciles por los símbolos que se usan, pero son esenciales en las matemáticas y la ciencia. Sorprendentemente abarcan desde la geometría hasta la informática, lo cual quiere decir que no podríamos huir de ellos aunque quisiéramos.

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