Números primos: Guía para entenderlos y aprender a usarlos

Los números primos son los quisquillosos de la familia numérica, porque solo se dejan dividir por sí mismos y por el 1. De hecho, han sido los responsables de que muchos matemáticos pierdan el sueño y llenen pizarras con conjeturas imposibles de resolver.

Como no quiero que te pase lo mismo, he preparado una guía donde por fin podrás entenderlos y aprender a usarlos. Conocerás sus propiedades, cómo identificarlos y algunas de sus aplicaciones más importantes.

¿Qué son los números primos?

Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: él mismo y 1. En otras palabras, no puede descomponerse en un producto de dos números naturales menores.

• Ejemplos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…

No los vayas a confundir con los compuestos, porque estos tienen más de dos divisores, como 4, 6, 8, 9 y 10.

Un número especial es el 1, que no se considera ni primo ni compuesto.

Propiedades y características de los números primos

Los números primos tienen algunas propiedades fundamentales que los hacen únicos:

1. Son infinitos: Euclides demostró que no hay un límite en la cantidad de números primos.
2. Todos los primos (excepto el 2) son impares: Esto se debe a que un número par mayor que 2 siempre es divisible por 2.
3. Forman la base de todos los números: Cualquier número compuesto puede descomponerse en un producto de primos (teorema fundamental de la aritmética).
4. Distribución irregular: Aunque parecen aparecer al azar, hay patrones y conjeturas sobre su distribución.

Test de primalidad: ¿Cómo saber si un número es primo?

Para determinar si un número es primo, existen varios métodos:

Implementación del test de divisibilidad

Este es el método más básico. Si un número n es divisible por algún número primo menor o igual a ​√n, entonces no es primo.

$n\notin P^{?}\iff \text{Existe un primo}p\text{tal que}\sqrt{n}\ge p\wedge p\mid n$

Pequeño teorema de Fermat (test probabilístico)

Si p es primo, entonces para cualquier entero a tal que 1 ≤ a < p:

$a^{p–1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

Si la ecuación no se cumple para algún a, entonces p es compuesto. Sin embargo, este test tiene falsos positivos (pseudoprimos de Fermat).

Test de Miller-Rabin (probabilístico)

Este test se basa en escribir p−1 como:

$p–1=2^s\cdot d$

donde d es impar. Luego, se elige un número aleatorio a y se verifica si cumple:

$a^d\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

o si en algún paso cumple:

$a^{2^r\cdot d}\equiv –1(\mathrm{mod}p)$

Si no se cumple para ningún r, entonces p es compuesto.

Algoritmos de factorización de números primos

Cuando vayas a descomponer un número en sus factores primos, puedes usar estos algoritmos que te dejo aquí:

Factorización por prueba de divisibilidad

Este método prueba dividir el número por los primos más pequeños hasta encontrar un divisor.

Ejemplo: Factorizar n = 84.

$84/2=4242/2=2121/3=77es\; primo$

Factorización final:

$2^2\times 3\times 7$

Algoritmo de Fermat

Funciona bien si el número a factorizar es el producto de dos primos cercanos:

$N=x^2–y^2=(x–y)(x+y)$

Ejemplo: Factorizar n=5959

$x=\sqrt{5959}\approx 78x^2–5959=125$

Ajustamos x hasta que:

${80}^2–5959={21}^{2}5959=(80–21)(80+21)$

Factorización final:

$5959=59\times 101$

Criba cuadrática (QS – Quadratic Sieve)

Es un método súper bueno para números grandes usando congruencias cuadráticas.

Ejemplo: Factorizar n=1039

1. Elegimos una base de primos pequeños: {2,3,5,7}
2. Calculamos valores x² mod 1039
3. Buscamos combinaciones que produzcan cuadrados perfectos:

$x^2\equiv 1mod1039$

Esto nos lleva a una congruencia que permite encontrar factores.

Criba del cuerpo de números (GNFS)

Es el algoritmo más rápido para factorización de números extremadamente grandes.

Ejemplo: Factorizar un número grande N.

$N=p_1\times p_{2}f(x)\sim x^5+x^3–N$

1. Representamos N en un cuerpo numérico algebraico.
2. Elegimos polinomios f(x) y g(x) para encontrar factores:
3. Se resuelve un sistema de congruencias para extraer los factores primos.

Fórmulas relacionadas con los números primos

Existen diversas fórmulas que involucran números primos. Un ejemplo clásico es el teorema de Wilson, que establece que un número p es primo si y solo si:

$p\&InvisibleTimes;n!+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

También está el pequeño teorema de Fermat (que ya te expliqué), útil en criptografía:

$a^{p–1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

Algunas aplicaciones de los números primos

Los números primos tienen aplicaciones en múltiples áreas:

1. Criptografía: Algoritmos como RSA dependen de la factorización en números primos.
2. Generación de claves seguras: Se usan en protocolos de seguridad como TLS y VPNs.
3. Teoría de números y matemáticas puras: Son base de conjeturas no resueltas como la hipótesis de Riemann.
4. Computación y algoritmos: En estructuras de datos y optimización.

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