¿Qué son las probabilidades condicionales? Entiéndelas con ejemplos prácticos

Las probabilidades condicionales son demasiado importantes para entender cómo se relacionan diferentes eventos en un experimento o situación real. Te va a parecer chistoso, pero así es como se determina la probabilidad de que llueva si hay nubes o se calcula el riesgo de una enfermedad dado un síntoma. Créeme cuando te digo que las probabilidades condicionales nos ayudan a tomar mejores decisiones basadas en información previa.

Como es un tema un poco complejo, trataré de explicártelo de forma sencilla. Te diré qué son las probabilidades condicionales, cómo se calculan y cómo interpretarlas para que no tengas inconvenientes al momento de usarlas.

¿Qué son las probabilidades condicionales?

Las probabilidades condicionales nos dicen qué tan probable es que ocurra un evento A si sabemos que ha ocurrido otro evento B. En otras palabras, nos ayudan a calcular probabilidades cuando tenemos información adicional sobre el contexto.

Por ejemplo:

• La probabilidad de que una persona tenga gripe es diferente si sabemos que tiene fiebre.
• Si sacamos una carta de una baraja y nos dicen que es roja, la probabilidad de que sea un corazón cambia porque descartamos las cartas negras.

Matemáticamente, la probabilidad condicional de A dado B se denota como:

$P\left(A\right|B)$

Su fórmula es:

$P\left(A\right|B)=\frac{P}{(}$

Te explico qué sucede en esta fórmula:

• P(A | B) es la probabilidad de A dado que ha ocurrido B.
• P(A ∩ B) es la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente.
• P(B) es la probabilidad de que ocurra B.

¿Cómo se calculan las probabilidades condicionales?

Ejemplo 1: Lanzamiento de dos dados

Supongamos que lanzamos dos dados de seis caras. Queremos calcular la probabilidad de que el primer dado haya salido 2, dado que sabemos que la suma de los dos dados es menor o igual a 5.

Paso 1: Identifica los eventos

• A: El primer dado muestra un 2.
• B: La suma de ambos dados es menor o igual a 5.

Paso 2: Calcula las probabilidades individuales

La tabla de posibles resultados es:

Dado 1	Dado 2	Suma
1	1	2
1	2	3
1	3	4
1	4	5
2	1	3
2	2	4
2	3	5
3	1	4
3	2	5

De los 36 resultados posibles al lanzar dos dados, hay 10 combinaciones donde la suma es menor o igual a 5.

Paso 3: Aplica la fórmula

$P(D{1}_{}=2|D{1}_{}+D{2}_{}\le 5)=\frac{P}{(}=\frac{3}{10}=0.3$

¿Lo entendiste? Mira que la probabilidad de que el primer dado sea un 2 dado que la suma es ≤ 5 es 0.3 (30%).

Usando el teorema de Bayes para invertir probabilidades condicionales

A veces conocemos P(B | A) pero necesitamos calcular P(A | B). En estos casos usamos el teorema de Bayes:

$P\left(A\right|B)=\frac{P}{\left(}$

Este teorema es útil en diagnóstico médico, detección de spam y modelos de predicción.

Ejemplo 2: Diagnóstico médico

Imagina que un 5% de la población tiene una enfermedad rara y una prueba médica tiene un 90% de precisión para detectarla. Sin embargo, también da un 5% de falsos positivos.

Vas a calcular P(enfermedad | prueba positiva):

• P(Prueba Positiva | Enfermedad) = 0.9
• P(Prueba Positiva | No Enfermedad) = 0.05
• P(Enfermedad) = 0.05
• P(No Enfermedad) = 0.95

Usa Bayes como ya te expliqué:

$P\left(E\right|P)=\frac{0.9}{·}$

El resultado es aproximadamente 0.49 (49%), lo que significa que, a pesar del resultado positivo, hay casi un 50% de probabilidad de que la persona no tenga la enfermedad.

Ejemplo 3: Predicción en inteligencia artificial (detección de spam en correos electrónicos)

Las probabilidades condicionales son fundamentales en el desarrollo de algoritmos de inteligencia artificial y aprendizaje automático, especialmente en sistemas de detección de spam en correos electrónicos.

Problema:

Supongamos que un sistema de correo electrónico tiene que clasificar si un email es spam o no spam basándose en la presencia de ciertas palabras clave. Una palabra como «ganador» puede ser una señal de alerta.

Vas a calcular la probabilidad de que un correo sea spam dado que contiene la palabra «ganador».

Paso 1: Define los eventos

• A: El correo es spam.
• B: El correo contiene la palabra «ganador».

Paso 2: Datos del sistema

Haz de cuenta que el sistema ha analizado una gran cantidad de correos y ha obtenido las siguientes estadísticas:

• P(A) = 20% (el 20% de los correos recibidos son spam).
• P(B | A) = 70% (el 70% de los correos de spam contienen la palabra «ganador»).
• P(B | No A) = 10% (el 10% de los correos legítimos contienen la palabra «ganador»).
• P(No A) = 80% (el 80% de los correos son legítimos, es decir, no spam).

Paso 3: Aplica el teorema de Bayes

Quieres calcular P(A | B), es decir, la probabilidad de que un correo sea spam dado que contiene la palabra «ganador».

El teorema de Bayes dice:

$P\left(A\right|B)=\frac{P}{\left(}$

Sustituye los valores conocidos:

$P\left(A\right|B)=\frac{0.7}{·}$

Paso 4: Resuelve el cálculo

• Multiplica los términos del numerador

$0.7·0.2=0.14$

• Multiplica los términos del denominador y suma

$0.7·0.2+0.1·0.8=0.14+0.08=0.22$

• Divide

$\frac{0.14}{0.22}=0.636$

Paso 5: Interpreta el resultado

La probabilidad de que un correo sea spam dado que contiene la palabra «ganador» es aproximadamente 63.6%.

Esto significa que el sistema de detección de spam puede marcar este correo como sospechoso y analizar otras características antes de clasificarlo como spam definitivamente.

¿Lo ves? Las probabilidades condicionales son clave en estadística, ciencia de datos y toma de decisiones.

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