Producto escalar o interno

Autor: | Última modificación: 11 de enero de 2023 | Tiempo de Lectura: 2 minutos
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El producto escalar o producto interno es el resultante de la multiplicación de dos vectores.

En este artículo, veremos un poco más a fondo en qué consiste este producto.

Producto escalar

Vamos a empezar definiendo el vector u, que tiene n componentes. Luego, tenemos el vector v, que tiene, al igual que el vector u, n componentes. El producto escalar no es más que multiplicar los componentes. El resultado que nos va a dar es un número, es decir, el producto interno o escalar es, a su vez, un escalar.

Producto escalar
Producto escalar o interno 1

Vamos a dibujar dos vectores, el u y el v. La ecuación que rige el producto interno o escalar es:

Producto escalar o interno 2
Fórmula del producto escalar

Esto significa que el producto escalar es igual al sumatorio de la multiplicación de cada componente de un vector con los componentes de otro vector.

Esta ecuación la podemos desarrollar de otra forma. Cogemos el primer componente del vector u y el primer componente del vector v y los multiplicamos. Ahora, le sumamos la multiplicación de los segundos componentes, la multiplicación de los terceros componentes, y así sucesivamente con todos los componentes que tengamos.

El sumatorio es lo que nos está definiendo esta suma:

Producto escalar o interno 3

Esto lo realizamos N veces, donde N corresponde al número de componentes.

Ejemplo de producto escalar

Veamos un ejemplo de este producto escalar para entenderlo mejor. Tenemos, por tanto, un vector u con valores [2 3 1] y un vector v con valores [1 4 5]. Vamos a hacer el producto escalar de estos dos vectores:

Producto escalar o interno 4

Si adaptamos la fórmula del producto escalar a nuestro ejemplo, sería:

2 . 1 + 3 . 4 + 1. 5 = 2 + 12 + 5 = 19

Ya vemos cómo el resultado del producto escalar es otro escalar.

Utilidad del producto interno o escalar

Este producto es de muchísima utilidad internamente. Veamos dónde radica su importancia.

Tenemos el vector u y luego el vector v. El producto interno o escalar no es más que la proyección del vector u sobre el vector v. Los vectores, por supuesto, tienen un ángulo entre ellos.

Producto escalar o interno 5

En vez de tener la proyección de u (representada por la flecha amarilla) colapsada en el mismo punto, vamos a intentar moverla. De este modo, tendríamos v, y si movemos la proyección y ponemos el origen de la misma justo donde acaba el vector v, este resultado sería, con el ejemplo del caso anterior, igual a 19. Veamos:

Producto escalar o interno 6

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