¿Qué plantea el teorema de Green?: aprende cómo funciona

Recuerdo una vez en la universidad cuando un profesor nos planteó un problema sobre flujos de aire en un túnel de viento. La idea era determinar la circulación del aire alrededor de un ala de avión sin tener que medir directamente cada punto. Al principio, intentamos calcular cada pequeña variación de presión y velocidad, pero los cálculos eran interminables. Fue entonces cuando el teorema de Green apareció como la clave para simplificarlo todo: en lugar de medir el flujo en cada punto del área, podíamos calcularlo simplemente con la integral de línea alrededor del contorno. Con una sola ecuación, resolvimos un problema que nos habría tomado horas. Pero, ¿cómo funciona exactamente este teorema?

¿Qué es el teorema de Green?

El teorema de Green fue formulado por George Green en 1835. Es un resultado fundamental del cálculo vectorial que relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región encerrada por esa curva. En términos sencillos, permite transformar un cálculo complejo en otro más manejable.

El enunciado del teorema de Green dice que: Dado un campo vectorial F = (L, M) en el plano con derivadas parciales continuas en una región D, el teorema de Green establece que:

${\oint }_C^{}\left(Ldx+Mdy\right)={\iint }_D^{}\left(\frac{\partial M}{\partial x}–\frac{\partial L}{\partial y}\right)dxdy$

Donde:

• C es una curva cerrada orientada positivamente (sentido antihorario).
• D es la región encerrada por C.
• L y M son funciones con derivadas parciales continuas.

¿Cómo funciona el teorema de Green?

Este teorema permite simplificar cálculos de integrales de línea sobre una curva cerrada transformándolos en integrales dobles sobre el área interior.

1. Flujo de un campo a través de una frontera:
   Si interpretamos el campo F como un flujo, el teorema nos dice que la circulación total a lo largo del contorno C es equivalente a la integral doble del rotacional del campo dentro de la región D. Ejemplo:
   Supongamos que un barco navega alrededor de una isla con una corriente marina descrita por el campo vectorial F (x, y) = (−y, x). Si tomamos una trayectoria circular de radio 2 centrada en el origen, podemos calcular la circulación del campo alrededor de la isla mediante la integral de línea. Sin embargo, aplicando el teorema de Green, simplemente integramos el rotacional del campo dentro del área del círculo, lo que simplifica el cálculo y nos da el mismo resultado.
2. Reducción de cálculos:
   En lugar de calcular la integral de línea directamente, podemos resolver una integral doble, que en muchos casos es más sencilla. Ejemplo:
   Consideremos la integral de línea

${\oint }_C^{}\left(y^{3}dx+\left(x^3+3x{y}^2\right)dy\right)$

donde C es el cuadrado delimitado por los puntos (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1). Aplicando el teorema de Green, en vez de evaluar la integral a lo largo de cada lado del cuadrado, podemos calcular la integral doble del rotacional del campo sobre la región encerrada. Esto reduce significativamente el esfuerzo de cálculo y nos da el mismo resultado de manera más eficiente.

¿Qué relación guarda este con otros teoremas?

El teorema de Green a veces suele mencionarse con otros teoremas como el de Strokes y el de Gauss. Veamos su relación:

Teorema	Relación
Teorema de Stokes	El teorema de Green es un caso particular en $ℝ²$ del teorema de Stokes en $ℝ³$.
Teorema de la divergencia (Gauss)	El teorema de Green en su forma divergente es un caso particular del teorema de Gauss en $ℝ²$.

El teorema de Green es una herramienta poderosa en cálculo vectorial que permite transformar una integral de línea en una integral doble, simplificando cálculos en diversas aplicaciones matemáticas y físicas. Su conexión con los teoremas de Stokes y Gauss lo convierte en un pilar fundamental del análisis en varias dimensiones.

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