Las integrales impropias pueden parecer un concepto intimidante al principio, pero son una herramienta clave en el cálculo para manejar situaciones en las que el área bajo una curva se extiende hasta el infinito o la función integrada tiene discontinuidades. En este artículo, te explico qué son, cómo identificarlas y cómo determinar si convergen o divergen.

¿Qué encontrarás en este post?

¿Qué son las integrales impropias?

Imagina que estás calculando el área bajo una curva, pero en lugar de un intervalo definido, uno de los extremos se extiende hasta el infinito. O peor aún, la función presenta un salto o una asíntota vertical dentro del intervalo de integración. En estos casos, las integrales definidas tradicionales no funcionan y es necesario utilizar integrales impropias.

Las integrales impropias son integrales definidas que involucran límites infinitos o funciones no acotadas dentro del intervalo de integración. Se evalúan como límites de integrales definidas y pueden ser convergentes (si tienen un valor finito) o divergentes (si tienden a infinito o no existen).

Existen dos tipos principales de integrales impropias:

1. Integrales con límites de integración infinitos

Se presentan cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración tienden a infinito. Ejemplo:

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}}

Para resolverlas, se usa un límite en lugar de un valor fijo.

2. Integrales con funciones no acotadas

Se dan cuando la función integrada presenta una discontinuidad o una asíntota vertical en el intervalo. Ejemplo:

\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}}

Aquí, el problema es que la función se vuelve infinita en x=0x = 0, por lo que también usamos límites para evaluarla.

¿Cómo saber si una integral impropia converge o diverge?

El concepto clave aquí es determinar si la integral tiene un valor finito (convergente) o infinito (divergente). Para eso, podemos aplicar estos métodos:

cómo saber si las integrales impropias convergen o divergen — ¿Cómo saber si una integral impropia converge o diverge?

1. Evaluación directa con límites

El primer paso para determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia es escribirla como un límite.
Por ejemplo, consideremos:

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}}

Se expresa como límite:

\lim \underset{\to\infty}{b} \int_{1}^{b} \frac{dx}{x^{2}}

2. Comparación con una integral conocida

Este método nos ayuda cuando la integral no es fácil de resolver directamente. Se compara con otra integral cuya convergencia o divergencia ya es conocida.

Ejemplo:

\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x + x^{2}}

3. Criterio del valor principal de Cauchy

Se usa cuando la integral tiene un punto singular en medio del intervalo, como:

\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}

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