¿Qué son las derivadas direccionales?: algunos ejemplos

En cálculo multivariable, las derivadas direccionales son una generalización de las derivadas parciales, ya que permiten calcular la tasa de cambio de una función en cualquier dirección, no solo a lo largo de los ejes coordenados. Son esenciales en física, inteligencia artificial y optimización.

¿Qué es una derivada direccional?

Imagina que estás en una montaña y quieres saber en qué dirección la pendiente es más pronunciada. Si solo mides la inclinación en dirección norte o este, estás calculando derivadas parciales. Pero si quieres medir la inclinación en cualquier dirección (por ejemplo, noreste), necesitas usar derivadas direccionales.

Matemáticamente, si f (x, y) es una función de dos variables, su derivada direccional en un punto (x₀, y₀) y en la dirección de un vector v = (v₁, v₂) se define como:

$\frac{\partial }{\partial v}f(\mathrm{x\_0},\mathrm{y\_0})=\lim \underset{\to 0}{h}\frac{f(\mathrm{x\_0}+\mathrm{hv\_1},\mathrm{y\_0}+\mathrm{hv\_2})–f(\mathrm{x\_0},\mathrm{y\_0})}{h}$

Si la función es diferenciable, la derivada direccional se puede calcular usando el gradiente de ff:

$\frac{\partial }{\partial v}f=\nabla f\cdot v$

donde ∇ f es el vector gradiente y el punto (⋅) indica el producto escalar.

¿Qué relación tiene una derivada direccional con el gradiente?

El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y cuya magnitud representa la tasa de cambio más rápida. Se define como:

$\nabla f(x,y)=(\frac{\partial }{\partial x}f,\frac{\partial }{\partial y}f)$

Así, la derivada direccional en la dirección del vector unitario u es:

$\frac{\partial }{\partial u}f=\nabla f\cdot u$

Esto significa que la derivada direccional mide cuánto cambia la función si nos movemos en la dirección u, y su valor máximo ocurre en la dirección del gradiente.

Algunos ejemplos de derivadas direccionales

Veamos algunos ejemplos en los que podemos usar derivadas direccionales en diferentes contextos y así podremos entender de manera más sencilla su funcionamiento:

1. Cambio de temperatura en una superficie

Supón que la temperatura en una región está dada por:

$T(x,y)=100–4x²–3y²$

El gradiente es:

$\nabla T=(–8x,–6y)$

Si queremos saber cómo cambia la temperatura en la dirección del vector v = (1, 1), normalizamos v:

$u=\frac{(1,1)}{\surd 2}$

Luego, calculamos la derivada direccional:

$\frac{\partial }{\partial u}T=–8x+–6y/\surd 2$

En (2, 1):

$\frac{\partial }{\partial u}T(2,1)=\frac{-16}{-6}=-15.56$

Esto significa que la temperatura disminuye más rápido en esa dirección.

2. Optimización en Machine Learning

En el entrenamiento de modelos de Machine Learning, el gradiente descendente usa derivadas direccionales para minimizar la función de pérdida. Se mueve en la dirección opuesta al gradiente para encontrar el valor óptimo.

¿En qué áreas se pueden aplicar las derivadas direccionales?

Área	Aplicación
Física	Modelado de flujos de calor y electromagnetismo, análisis de gradientes de potencial.
Economía	Evaluación de tasas de cambio en múltiples variables, optimización de funciones de producción.
Machine Learning	Optimización de modelos mediante gradiente descendente para minimizar funciones de error.
Geometría diferencial	Análisis de curvatura en superficies y cálculo de direcciones de máximo crecimiento.

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