¿Qué es geometría no euclidiana y para qué se utiliza?

Imagina que vives en un mundo donde las reglas geométricas de siempre dejan de aplicarse. Dibujas un triángulo y, en lugar de sumar 180°, sus ángulos suman más o menos. O trazas líneas paralelas y, en lugar de mantenerse a la misma distancia, terminan cruzándose. Eso es la geometría no euclidiana: un conjunto de sistemas geométricos que desafían los postulados clásicos de Euclides y que han revolucionado nuestra forma de entender el espacio, la física y la tecnología.

¿Qué es la geometría no euclidiana?

La geometría no euclidiana es cualquier sistema geométrico que no sigue los postulados de Euclides, en especial su famoso quinto postulado, también conocido como el postulado de las paralelas. Este establece que, en un plano, por un punto exterior a una recta solo puede pasar una única recta paralela. Durante siglos, los matemáticos intentaron demostrar que este postulado se derivaba de los otros cuatro, hasta que descubrieron que al modificarlo se obtenían nuevas geometrías completamente lógicas y válidas.

Tipos de geometrías no euclidianas

A diferencia de la geometría euclidiana, que se basa en un espacio plano con curvatura cero, las geometrías no euclidianas surgen al modificar el quinto postulado de Euclides, el de las paralelas. Existen varios tipos, pero los más importantes son:

Geometría hiperbólica: el mundo de las rectas divergentes

La geometría hiperbólica se caracteriza por tener una curvatura negativa, similar a la forma de una silla de montar. En este tipo de espacio:

• La suma de los ángulos de un triángulo es menor a 180°.
• Por un punto exterior a una recta dada, pueden pasar infinitas rectas paralelas a la original.
• Se utiliza en modelos como la pseudoesfera y es clave en áreas como la teoría de la relatividad y la computación gráfica.

Geometría elíptica: sin paralelas en la esfera

En la geometría elíptica, el espacio tiene curvatura positiva, como la superficie de una esfera. Aquí:

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor a 180°.
• No existen líneas paralelas: cualquier línea extendida lo suficiente terminará por intersectarse con otra.
• Su modelo más claro es el de una esfera, donde las líneas geodésicas son los círculos máximos, como los meridianos de un globo terráqueo.
• Se aplica en navegación y astronomía, donde las distancias largas deben considerar la curvatura de la Tierra.

Geometría riemanniana: el espacio-tiempo curvado

Cuando la curvatura de un espacio varía de un punto a otro, entramos en el campo de la geometría riemanniana, propuesta por Bernhard Riemann. Este modelo permite describir:

• El espacio-tiempo en la teoría de la relatividad general de Einstein.
• La manera en que la gravedad curva el espacio, haciendo que los objetos sigan trayectorias curvas.
• Superficies complejas en disciplinas como la física cuántica y la teoría de cuerdas.

La geometría riemanniana se puede incluir dentro de las geometrías no euclidianas, pero con matices.

La geometría riemanniana es un marco mucho más amplio que engloba no solo las geometrías no euclidianas clásicas (hiperbólica y elíptica), sino también otros espacios con curvaturas variadas y métricas más generales. Dentro de este marco:

• La geometría euclidiana también es un caso particular de la geometría riemanniana, pero con curvatura cero.
• Las geometrías hiperbólica y elíptica son casos particulares de la geometría riemanniana con curvatura negativa y positiva, respectivamente.

Por lo tanto, toda geometría hiperbólica y elíptica es riemanniana, pero no toda geometría riemanniana es necesariamente no euclidiana, ya que la geometría euclidiana también es un caso especial dentro de la teoría riemanniana cuando la curvatura es nula.

¿Para qué se utiliza la geometría no euclidiana?

La geometría no euclidiana no es solo una curiosidad matemática, sino que tiene aplicaciones en múltiples áreas de la ciencia y la tecnología.

• Relatividad y física moderna: Uno de los mayores impactos de la geometría no euclidiana se encuentra en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein. En este modelo, el espacio-tiempo no es plano, sino que se curva debido a la gravedad. La presencia de grandes masas, como planetas y estrellas, deforma el espacio-tiempo, causando efectos como la desviación de la luz y la órbita de los planetas.
• Cosmología y modelos del universo: El universo mismo podría no ser euclidiano. Los cosmólogos estudian si el universo tiene una curvatura positiva, negativa o nula, lo que definiría si el espacio es esférico, hiperbólico o plano. Esto influye en la expansión del universo y en teorías sobre su forma y destino.
• GPS y navegación: Los sistemas de GPS funcionan con base en la relatividad general. Al estar en órbita, los satélites experimentan dilataciones temporales debido a la curvatura del espacio-tiempo, por lo que las correcciones geométricas basadas en la geometría no euclidiana son necesarias para obtener coordenadas precisas.
• Computación y gráficos 3D: Los motores gráficos en videojuegos y simulaciones trabajan con geometrías curvadas para modelar superficies complejas, como terrenos o efectos de distorsión en el espacio. La geometría hiperbólica también ha sido usada para representar grandes estructuras de datos de manera eficiente.
• Arquitectura y diseño: Algunos diseños arquitectónicos innovadores utilizan principios de geometría no euclidiana, especialmente en estructuras curvas y formas orgánicas, que se apartan de los ángulos rectos y formas tradicionales.

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