Qué son las derivadas parciales y ejemplos

En cálculo, el concepto de derivadas parciales surge cuando trabajamos con funciones de varias variables. A diferencia de la derivada tradicional, aquí nos interesa ver cómo cambia una función con respecto a una sola de sus variables, manteniendo las demás constantes. ¿Por qué es útil esto? Porque muchas funciones en física, economía e inteligencia artificial dependen de múltiples variables y necesitamos entender cómo influyen individualmente en el resultado.

¿Qué son las derivadas parciales?

Imagina que estás en una colina y quieres saber en qué dirección es más empinado el terreno. Si te mueves en línea recta hacia el este o el oeste, la pendiente que calculas es diferente a si te mueves hacia el norte o el sur. Cada una de estas pendientes parciales es una derivada parcial.

Las derivadas parciales miden cómo cambia una función de varias variables al modificar solo una de ellas, manteniendo las demás constantes. Se usan en cálculo, física y optimización para analizar variaciones en modelos matemáticos. Se denotan con el símbolo ∂ y son clave en el análisis de superficies y ecuaciones diferenciales.

Formalmente, si tenemos una función de dos variables:

$f(x,y)=x^2+\mathrm{xy}+y^2$

Podemos calcular sus derivadas parciales con respecto a x y y, respectivamente.

La derivada parcial con respecto a x se calcula manteniendo y como una constante:

$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)=2x+y$

Mientras que la derivada parcial con respecto a y es:

$\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=x+2y$

Cada una de estas derivadas nos dice cómo cambia la función cuando variamos solo una de las variables.

Definición formal de la derivada parcial

Si f (x, y, z) es una función de varias variables, su derivada parcial con respecto a una variable x_i se define como:

$\frac{\partial }{\partial x\_i}f\left(x\right)=\lim \underset{\to 0}{h}\frac{f(x+h)–f\left(x\right)}{h}$

Esto significa que tomamos un pequeño cambio h en la variable x y observamos cómo cambia f (x), dejando el resto de variables constantes.

Algunos ejemplos de derivadas parciales

Veamos algunos ejemplos aplicados en distintos campos.

1. Geometría: volumen de un cono

El volumen de un cono depende de su radio r y su altura h:

$V(r,h)=\frac{\pi }{3}{r}^{2}h$

La derivada parcial respecto a r nos indica cómo cambia el volumen si solo variamos el radio:

$\frac{\partial }{\partial r}V=\frac{2}{3}\pi rh$

Mientras que la derivada parcial con respecto a h nos dice cómo cambia el volumen al modificar solo la altura:

$\frac{\partial }{\partial h}V=\frac{\pi }{3}{r}^2$

2. Física: ecuación del calor

En física, la ecuación del calor describe cómo se propaga la temperatura en un material:

$\frac{\partial }{\partial t}T=\alpha \frac{{\partial }^2}{\partial x}T$

Esta ecuación nos dice que la variación de la temperatura con el tiempo depende de la segunda derivada espacial de la temperatura.

Aplicaciones de las derivadas parciales

Las derivadas parciales son fundamentales en muchas áreas:

• Optimización: Se usan en el cálculo de máximos y mínimos en funciones de varias variables.
• Machine Learning: Son la base del gradiente descendente, un algoritmo clave para entrenar modelos de IA.
• Física y termodinámica: Aparecen en ecuaciones de movimiento, calor y fluidos.
• Economía: Se utilizan en modelos de oferta y demanda para analizar la sensibilidad de precios.

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